Formelsammlung Mathematik: Unbestimmte Integrale exponentieller Funktionen

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Nachfolgende Liste enthält einige Integrale exponentieller Funktionen

$\int e^{cx}dx=\frac{1}{c}{e}^{cx}$

$\int a^{cx}dx=\frac{1}{c\ln a}{a}^{cx}\text{(}a>0,a\ne 1\text{)}$

$\int x{e}^{cx}dx=\frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2{e}^{cx}dx=e^{cx}(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3})$

$\int x^n{e}^{cx}dx=\frac{1}{c}{x}^n{e}^{cx}-\frac{n}{c}\int x^{n-1}{e}^{cx}dx=e^{cx}(\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{c}^{-i-1}\frac{n!}{(n-i)!}{x}^{n-i})$

$\int \frac{e^{cx}dx}{x}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(cx{)}^i}{i\cdot i!}$

$\int \frac{e^{cx}dx}{x^n}=\frac{1}{n-1}(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int \frac{e^{cx}}{x^{n-1}}dx)\text{(}n\ne 1\text{)}$

$\int e^{cx}\ln xdx=\frac{1}{c}{e}^{cx}\ln |x|-\mathrm{Ei}(cx)$

$\int e^{cx}\sin bxdx=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx-b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bxdx=\frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx+b\sin bx)$

$\int e^{cx}{\sin }^{n}xdx=\frac{e^{cx}{\sin }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\sin }^{n-2}xdx$

$\int e^{cx}{\cos }^{n}xdx=\frac{e^{cx}{\cos }^{n-1}x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}{\cos }^{n-2}xdx$

$\int x{e}^{c{x}^2}dx=\frac{1}{2c}{e}^{c{x}^2}$

$\int x^{n-1}{e}^{c{x}^n}dx=\frac{1}{nc}{e}^{c{x}^n}\text{(}n>1,n\in \mathbb{N}\text{)}$

$\int \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}dx=\frac{1}{2\sigma }(1+\text{erf}\frac{x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})$

$\int e^{x^2}dx=e^{x^2}\left(\sum _{j=0}^{n-1}{c}_{2j}\frac{1}{x^{2j+1}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}dx\text{wenn }n>0,$

wobei $c_{2j}=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{2j!}{j!2^{2j+1}}.$

$\int \genfrac{}{}{0ex}{}{{}_{\underbrace{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^x}}}}}}{{}_m}dx=\sum _{n=0}^m\frac{(-1{)}^n(n+1{)}^{n-1}}{n!}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_{mn}\mathrm{\Gamma }(n+1,-\ln x)\text{(für }x>0\text{)}$

wobei $a_{mn}=\{\begin{array}{cc}1& \text{wenn }n=0,\\ \frac{1}{n!}& \text{wenn }m=1,\\ \frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}j{a}_{m,n-j}{a}_{m-1,j-1}& \text{sonst}\end{array}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$ (das Gauß'sche Fehlerintegral)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}{e}^{bx}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{\frac{b^2}{4a}}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-a(x-b{)}^2}dx=b\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{e}^{-x^2/a^2}dx=\sqrt{\pi }\frac{(2n)!}{n!}{\left(\frac{a}{2}\right)}^{2n+1}$

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \vartheta }d\vartheta =2\pi I_0(x)$ ($I_0$ ist die modifizierte Besselfunktion erster Ordnung)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \vartheta +y\sin \vartheta }d\vartheta =2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^a{e}^{-bx}dx=\frac{a!}{b^{a+1}}$

Siehe auch

• Englische Wikipedia