Formelsammlung Mathematik: Unbestimmte Integrale algebraischer Funktionen

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Ein allgemeines Lösungsverfahren, wie es für rationale Funktionen vorliegt, gibt es für die Integrale algebraischer Funktionen nicht.

$\int x^q\mathrm{d}x=\frac{x^{q+1}}{q+1}+C(q\ne -1)$
ist Grundintegral auch für $q\in \mathbb{Q}$, ja sogar für $q\in ℝ$.

In verschiedenen Fällen hilfreich ist
$\int x^n(ax+b{)}^q\mathrm{d}x=\frac{1}{a^{n+1}}\int {(X-b)}^n{X}^q\mathrm{d}X\text{ mit }X=ax+b\text{(}q\in ̸\{-1,-2,\dots ,-n\}\text{)},$
denn für $n\in \mathbb{N}$ kann ${(X-b)}^n$ nach dem binomischen Lehrsatz entwickelt und dann das Grundintegral angewandt werden.

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Die folgenden Tabellen enthalten ausschließlich Integrale von Funktionen, die Wurzelausdrücke enthalten. Mit Ausnahme des letzten Abschnitts kommen sogar nur Quadratwurzeln vor.

Integrale, die √x enthalten

Es wird $a>0$ vorausgesetzt, was für die hier behandelten Integrale keine Einschränkung bedeutet.

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x+a^2}=2\sqrt{x}-2a\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x+a^2)}=\frac{2}{a}\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{x\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x+a^2}=2\sqrt{x}(\frac{x}{3}-a^2)+2a^3\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}(x+a^2)}=\frac{-2}{a^3}(\frac{a}{\sqrt{x}}+\arctan \frac{\sqrt{x}}{a})+C$

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x-a^2}=2\sqrt{x}-a\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x-a^2)}=\frac{-1}{a}\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{x\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x-a^2}=-2\sqrt{x}(\frac{x}{3}+a^2)+a^3\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}(x-a^2)}=\frac{1}{a^3}(\frac{2a}{\sqrt{x}}-\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|)+C$

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x^2+a^2}=\frac{1}{2\sqrt{2a}}(2\mathrm{arccot}\frac{a-x}{\sqrt{2ax}}+\ln \frac{x-\sqrt{2ax}+a}{x+\sqrt{2ax}+a})+\{\begin{array}{cc}C& \text{wenn }x\le a\\ \frac{\pi }{\sqrt{2a}}+C& \text{wenn }x>a\end{array}$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2+a^2)}=\frac{1}{2a\sqrt{2a}}(2\mathrm{arccot}\frac{a-x}{\sqrt{2ax}}+\ln \frac{x+\sqrt{2ax}+a}{x-\sqrt{2ax}+a})+\{\begin{array}{cc}C& \text{wenn }x\le a\\ \frac{\pi }{a\sqrt{2a}}+C& \text{wenn }x>a\end{array}$

Die Änderung der Integrationskonstanten ist nötig, um eine Sprungstelle bei x = a zu vermeiden.

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(2\arctan \sqrt{\frac{x}{a}}+\ln \left|\frac{\sqrt{x}-a}{\sqrt{x}+a}\right|)+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x^2-a^2)}=\frac{-1}{2a\sqrt{a}}(2\arctan \sqrt{\frac{x}{a}}+\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|)+C$

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{(x+a^2{)}^2}=\frac{-\sqrt{x}}{x+a^2}+\frac{1}{a}\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x+a^2{)}^2}=\frac{\sqrt{x}}{a^2(x+a^2)}+\frac{1}{a^3}\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{x\sqrt{x}\mathrm{d}x}{(x+a^2{)}^2}=\frac{\sqrt{x}(3a^2+2x)}{x+a^2}-3a\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}(x+a^2{)}^2}=\frac{-1}{a^2(x+a^2)}(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3\sqrt{x}}{a^2})-\frac{3}{a^5}\arctan \frac{\sqrt{x}}{a}+C$

• $\int \frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{(x-a^2{)}^2}=\frac{\sqrt{x}}{a^2-x}-\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(x-a^2{)}^2}=\frac{\sqrt{x}}{a^2(a^2-x)}+\frac{1}{2a^3}\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{x\sqrt{x}\mathrm{d}x}{(x-a^2{)}^2}=\frac{\sqrt{x}(2x-3a^2)}{x-a^2}-\frac{3}{2}a\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x}(x-a^2{)}^2}=\frac{1}{a^2(x-a^2)}(\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{3\sqrt{x}}{a^2})+\frac{3}{2a^5}\ln \left|\frac{\sqrt{x}+a}{\sqrt{x}-a}\right|+C$

Integrale, die √(ax + b) enthalten

• $\int \sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{3a}(ax+b)\sqrt{ax+b}+C$

$\int x\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{15a^2}(3ax-2b)(ax+b)\sqrt{ax+b}+C$

$\int x^2\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{105a^3}(15a^2{x}^2-12abx+8b^2)(ax+b)\sqrt{ax+b}+C$

Rekursionsformel:
$\int x^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{a(2n+3)}(x^n(ax+b)\sqrt{ax+b}-nb\int x^{n-1}\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x)\text{(}n\ge 1\text{)}$

• $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{ax+b}}=\frac{2}{a}\sqrt{ax+b}+C$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{ax+b}}=\frac{2}{3a^2}(ax-2b)\sqrt{ax+b}+C$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{\sqrt{ax+b}}=\frac{2}{15a^3}(3a^2{x}^2-4abx+8b^2)\sqrt{ax+b}+C$

Rekursionsformel:
$\int \frac{x^n\mathrm{d}x}{\sqrt{ax+b}}=\frac{2}{a(2n+1)}(x^n\sqrt{ax+b}-bn\int \frac{x^{n-1}}{\sqrt{ax+b}})\text{(}n\ge 1\text{)}$

• $\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{b}}\ln \left|\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}\right|+C\text{(}b>0\text{)}\\ \frac{2}{\sqrt{-b}}\arctan \sqrt{\frac{ax+b}{-b}}+C\text{(}b<0\text{)}\end{array}$

Für $b>0$ kann man dieselbe Stammfunktion auch schreiben als
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}=\frac{-2}{\sqrt{b}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\sqrt{\frac{ax+b}{b}}+C$
Allerdings ist diese Funktion nur für $\mathrm{sgn}x\ne \mathrm{sgn}a$ definiert.

Viele der folgenden Integrale werden auf dieses Integral zurückgeführt. Die Fallunterscheidung ist dann wie oben vorzunehmen. Auch für die Schreibung mit artanh gilt das eben Gesagte.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{ax+b}}=\frac{-\sqrt{ax+b}}{bx}-\frac{a}{2b}\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}$

Rekursionsformel:
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^n\sqrt{ax+b}}=\frac{-1}{b(n-1)}(\frac{\sqrt{ax+b}}{x^{n-1}}+\frac{2n-3}{2}\cdot a\int \frac{\mathrm{d}x}{x^{n-1}\sqrt{ax+b}})\text{(}n\ge 2\text{)}$

• $\int \frac{\sqrt{ax+b}}{x}\mathrm{d}x=2\sqrt{ax+b}+b\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}$

$\int \frac{\sqrt{ax+b}}{x^2}\mathrm{d}x=\frac{-\sqrt{ax+b}}{x}+\frac{a}{2}\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}$

• $\int (ax+b)\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{5a}(ax+b{)}^2\sqrt{ax+b}+C$

$\int x(ax+b)\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{35a^2}(5ax-2b)(ax+b{)}^2\sqrt{ax+b}+C$

$\int x^2(ax+b)\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{315a^3}(35a^2{x}^2-20abx+8b^2)(ax+b{)}^2\sqrt{ax+b}+C$

$\int \frac{1}{x}(ax+b)\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{3}(ax+4b)\sqrt{ax+b}+b^2\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}}$

• $\int \frac{\mathrm{d}x}{(ax+b)\sqrt{ax+b}}=\frac{-2}{a\sqrt{ax+b}}+C$

$\int \frac{x\mathrm{d}x}{(ax+b)\sqrt{ax+b}}=\frac{2(ax+2b)}{a^2\sqrt{ax+b}}+C$

$\int \frac{x^2\mathrm{d}x}{(ax+b)\sqrt{ax+b}}=\frac{2(a^2{x}^2-4abx-8b^2)}{3a^3\sqrt{ax+b}}+C$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x(ax+b)\sqrt{ax+b}}=\frac{1}{b}(\frac{2}{a\sqrt{ax+b}}+\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}})$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2(ax+b)\sqrt{ax+b}}=\frac{-1}{b^2}(\frac{3ax+b}{x\sqrt{ax+b}}+\frac{3}{2a}\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{ax+b}})$

• Die jetzt noch folgenden Integrale sind für n = 0, n = ±1 und zum Teil für n = –2 oben bereits behandelt worden. Diese Formeln lassen sich aber verallgemeinern:
  $\int (ax+b{)}^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{a(2n+3)}(ax+b{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}+C\text{(}n\in \mathbb{Z}\text{)}$

$\int x(ax+b{)}^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{a^2}\cdot \frac{(2n+3)ax-2b}{4n^2+16n+15}(ax+b{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}+C\text{(}n\in \mathbb{Z}\text{)}$

$\int x^2(ax+b{)}^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{a^3}\cdot \frac{(2n+3)(2n+5)a^2{x}^2-4(2n+3)abx+8b^2}{(2n+3)(2n+5)(2n+7)}(ax+b{)}^{n+1}\sqrt{ax+b}+C\text{(}n\in \mathbb{Z}\text{)}$

Auch die nächsten Formeln sind für n ∈ Z gültig. Als Rekursionsformeln taugen sie natürlich nur für n ≥ 1:
$\int \frac{1}{x}(ax+b{)}^n\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}(ax+b{)}^n\sqrt{ax+b}+b\int (ax+b{)}^{n-1}\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x\text{(}n\ge 1\text{)}$

$\int \frac{\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x}{x(ax+b{)}^n}=\frac{1}{b}(\frac{2}{2n-3}\frac{\sqrt{ax+b}}{(ax+b{)}^{n-1}}+\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(ax+b{)}^{n-1}}\mathrm{d}x)\text{(}n\ge 1\text{)}$

$\int \frac{\sqrt{ax+b}\mathrm{d}x}{x^2(ax+b{)}^n}=\frac{-1}{b}(\frac{\sqrt{ax+b}}{x(ax+b{)}^{n-1}}+(2n-1)\frac{a}{2}\int \frac{\sqrt{ax+b}}{(ax+b{)}^{n-1}}\mathrm{d}x)\text{(}n\ge 1\text{)}$

Integrale die r = √(x² + a²) beinhalten

$\int rdx=\frac{1}{2}(xr+a^2\ln (x+r))$

$\int r^{3}dx=\frac{1}{4}x{r}^3+\frac{1}{8}3a^{2}xr+\frac{3}{8}{a}^4\ln (x+r)$

$\int r^{5}dx=\frac{1}{6}x{r}^5+\frac{5}{24}{a}^{2}x{r}^3+\frac{5}{16}{a}^{4}xr+\frac{5}{16}{a}^6\ln (x+r)$

$\int xrdx=\frac{r^3}{3}$

$\int x{r}^{3}dx=\frac{r^5}{5}$

$\int x{r}^{2n+1}dx=\frac{r^{2n+3}}{2n+3}$

$\int x^{2}rdx=\frac{x{r}^3}{4}-\frac{a^{2}xr}{8}-\frac{a^4}{8}\ln (x+r)$

$\int x^2{r}^{3}dx=\frac{x{r}^5}{6}-\frac{a^{2}x{r}^3}{24}-\frac{a^{4}xr}{16}-\frac{a^6}{16}\ln (x+r)$

$\int x^{3}rdx=\frac{r^5}{5}-\frac{a^2{r}^3}{3}$

$\int x^3{r}^{3}dx=\frac{r^7}{7}-\frac{a^2{r}^5}{5}$

$\int x^3{r}^{2n+1}dx=\frac{r^{2n+5}}{2n+5}-\frac{a^3{r}^{2n+3}}{2n+3}$

$\int x^{4}rdx=\frac{x^3{r}^3}{6}-\frac{a^{2}x{r}^3}{8}+\frac{a^{4}xr}{16}+\frac{a^6}{16}\ln (x+r)$

$\int x^4{r}^{3}dx=\frac{x^3{r}^5}{8}-\frac{a^{2}x{r}^5}{16}+\frac{a^{4}x{r}^3}{64}+\frac{3a^{6}xr}{128}+\frac{3a^8}{128}\ln (x+r)$

$\int x^{5}rdx=\frac{r^7}{7}-\frac{2a^2{r}^5}{5}+\frac{a^4{r}^3}{3}$

$\int x^5{r}^{3}dx=\frac{r^9}{9}-\frac{2a^2{r}^7}{7}+\frac{a^4{r}^5}{5}$

$\int x^5{r}^{2n+1}dx=\frac{r^{2n+7}}{2n+7}-\frac{2a^2{r}^{2n+5}}{2n+5}+\frac{a^4{r}^{2n+3}}{2n+3}$

$\int \frac{rdx}{x}=r-a\ln \left|\frac{a+r}{x}\right|=r-a{\sinh }^{-1}\frac{a}{x}$

$\int \frac{r^{3}dx}{x}=\frac{r^3}{3}+a^{2}r-a^3\ln \left|\frac{a+r}{x}\right|$

$\int \frac{r^{5}dx}{x}=\frac{r^5}{5}+\frac{a^2{r}^3}{3}+a^{4}r-a^5\ln \left|\frac{a+r}{x}\right|$

$\int \frac{r^{7}dx}{x}=\frac{r^7}{7}+\frac{a^2{r}^5}{5}+\frac{a^4{r}^3}{3}+a^{6}r-a^7\ln \left|\frac{a+r}{x}\right|$

$\int \frac{dx}{r}={\sinh }^{-1}\frac{x}{a}=\ln |x+r|$

$\int \frac{dx}{r^3}=\frac{x}{a^{2}r}$

$\int \frac{xdx}{r}=r$

$\int \frac{xdx}{r^3}=-\frac{1}{r}$

$\int \frac{x^{2}dx}{r}=\frac{x}{2}r-\frac{a^2}{2}{\sinh }^{-1}\frac{x}{a}=\frac{x}{2}r-\frac{a^2}{2}\ln |x+r|$

$\int \frac{dx}{xr}=-\frac{1}{a}{\sinh }^{-1}\frac{a}{x}=-\frac{1}{a}\ln \left|\frac{a+r}{x}\right|$

Integrale die s = √(x² - a²) beinhalten

Annahme $(x^2>a^2)$, für $(x^2<a^2)$, siehe nächster Abschnitt:

$\int sdx=\frac{1}{2}(xs-a^2\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|)+C=\frac{1}{2}(xs+a^2\ln \left|\frac{x-s}{a}\right|)+C=\frac{1}{2}(xs-\mathrm{sgn}(x)a^2\mathrm{arcosh}\left|\frac{x}{a}\right|)+C$

$\int xsdx=\frac{1}{3}{s}^3$

$\int \frac{sdx}{x}=s-|a|\arccos \left|\frac{a}{x}\right|$

$\int \frac{dx}{s}=\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

Hierbei ist $\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|=\mathrm{sgn}(x)\mathrm{arcosh}\left|\frac{x}{a}\right|=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+s}{x-s}\right)$, wobei der positive Wert des $\mathrm{arcosh}\left|\frac{x}{a}\right|$ genommen werden muss.

$\int \frac{xdx}{s}=s$

$\int \frac{xdx}{s^3}=-\frac{1}{s}$

$\int \frac{xdx}{s^5}=-\frac{1}{3s^3}$

$\int \frac{xdx}{s^7}=-\frac{1}{5s^5}$

$\int \frac{xdx}{s^{2n+1}}=-\frac{1}{(2n-1)s^{2n-1}}$

$\int \frac{x^{2m}dx}{s^{2n+1}}=-\frac{1}{2n-1}\frac{x^{2m-1}}{s^{2n-1}}+\frac{2m-1}{2n-1}\int \frac{x^{2m-2}dx}{s^{2n-1}}$

$\int \frac{x^{2}dx}{s}=\frac{xs}{2}+\frac{a^2}{2}\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

$\int \frac{x^{2}dx}{s^3}=-\frac{x}{s}+\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

$\int \frac{x^{4}dx}{s}=\frac{x^{3}s}{4}+\frac{3}{8}{a}^{2}xs+\frac{3}{8}{a}^4\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

$\int \frac{x^{4}dx}{s^3}=\frac{xs}{2}-\frac{a^{2}x}{s}+\frac{3}{2}{a}^2\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

$\int \frac{x^{4}dx}{s^5}=-\frac{x}{s}-\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}+\ln \left|\frac{x+s}{a}\right|$

$\int \frac{x^{2m}dx}{s^{2n+1}}=(-1{)}^{n-m}\frac{1}{a^{2(n-m)}}\sum _{i=0}^{n-m-1}\frac{1}{2(m+i)+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-m-1}{i})\frac{x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}\text{(}n>m\ge 0\text{)}$

$\int \frac{dx}{s^3}=-\frac{1}{a^2}\frac{x}{s}$

$\int \frac{dx}{s^5}=\frac{1}{a^4}[\frac{x}{s}-\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}]$

$\int \frac{dx}{s^7}=-\frac{1}{a^6}[\frac{x}{s}-\frac{2}{3}\frac{x^3}{s^3}+\frac{1}{5}\frac{x^5}{s^5}]$

$\int \frac{dx}{s^9}=\frac{1}{a^8}[\frac{x}{s}-\frac{3}{3}\frac{x^3}{s^3}+\frac{3}{5}\frac{x^5}{s^5}-\frac{1}{7}\frac{x^7}{s^7}]$

$\int \frac{x^{2}dx}{s^5}=-\frac{1}{a^2}\frac{x^3}{3s^3}$

$\int \frac{x^{2}dx}{s^7}=\frac{1}{a^4}[\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}-\frac{1}{5}\frac{x^5}{s^5}]$

$\int \frac{x^{2}dx}{s^9}=-\frac{1}{a^6}[\frac{1}{3}\frac{x^3}{s^3}-\frac{2}{5}\frac{x^5}{s^5}+\frac{1}{7}\frac{x^7}{s^7}]$

Integrale die t = √(a² - x²) beinhalten

$\int tdx=\frac{1}{2}(xt+a^2\arcsin \frac{x}{a})\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

$\int tdx=\frac{1}{2}(xt-\mathrm{sgn}x{\cosh }^{-1}\left|\frac{x}{a}\right|)\text{(}|x|\ge |a|\text{)}$

$\int xtdx=-\frac{1}{3}{t}^3\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

$\int x^{2}tdx=\frac{1}{8}(2x^{3}t-x{a}^{2}t+a^4\arcsin \frac{x}{a})\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

$\int \frac{tdx}{x}=t-a\ln \left|\frac{a+t}{x}\right|\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

$\int \frac{dx}{t}=\arcsin \frac{x}{a}\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

$\int \frac{x^{2}dx}{t}=-\frac{x}{2}t+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}\text{(}|x|\le |a|\text{)}$

Integrale die √R = √(ax² + bx+ c) beinhalten

$\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln |2\sqrt{a}R+2ax+b|\text{(}a>0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}{\sinh }^{-1}\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\text{(}a>0\text{, }4ac-b^2>0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\ln |2ax+b|\text{(}a>0\text{, }4ac-b^2=0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=-\frac{1}{\sqrt{-a}}\arcsin \frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}\text{(}a<0\text{, }4ac-b^2<0\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^3}}=\frac{4ax+2b}{(4ac-b^2)\sqrt{R}}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^5}}=\frac{4ax+2b}{3(4ac-b^2)\sqrt{R}}(\frac{1}{R}+\frac{8a}{4ac-b^2})$

$\int \frac{dx}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^{2n+1}}}=\frac{4ax+2b}{(2n-1)(4ac-b^2)R^{(2n-1)/2}}+\frac{8a(n-1)}{(2n-1)(4ac-b^2)}\int \frac{dx}{R^{(2n-1)/2}}$

$\int \frac{xdx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=\frac{\sqrt{R}}{a}-\frac{b}{2a}\int \frac{dx}{\sqrt{R}}$

$\int \frac{xdx}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^3}}=-\frac{2bx+4c}{(4ac-b^2)\sqrt{R}}$

$\int \frac{xdx}{\sqrt{(a{x}^2+bx+c{)}^{2n+1}}}=-\frac{1}{(2n-1)a{R}^{(2n-1)/2}}-\frac{b}{2a}\int \frac{dx}{R^{(2n+1)/2}}$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=-\frac{1}{\sqrt{c}}\ln \left(\frac{2\sqrt{cR}+bx+2c}{x}\right)$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{a{x}^2+bx+c}}=-\frac{1}{\sqrt{c}}{\sinh }^{-1}\left(\frac{bx+2c}{|x|\sqrt{4ac-b^2}}\right)$

Siehe auch

• Englische Wikipedia