Formelsammlung Mathematik: Riemannsche Geometrie

Einbettung

Betrachte eine n-dimensionale riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$, eingebettet in den ${ℝ}^m$.

Sei $\phi$ eine lokale Karte

$\phi :\tilde{U}\to U,\tilde{U}\subseteq {ℝ}^n,U\subseteq M\subseteq {ℝ}^m.$

Sei $({𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_m)$ die kanonische Basis des ${ℝ}^m$.

Basis von $T_{p}M$	Duale Basis
${𝐠}_i(u)=({\partial }_i\phi )(u)=\frac{\partial \phi }{\partial u^i}=\sum _{k=1}^m\frac{\partial {\phi }^k}{\partial u^i}{𝐞}_k$ wobei $p=\phi (u)$	${𝐠}^i=\sum _{j=1}^n{g}^{ij}{𝐠}_j=\sum _{k=1}^m\sum _{j=1}^n{g}^{ij}\frac{\partial {\phi }^k}{\partial u^j}{𝐞}_k$

Paarung und Skalarprodukte der Basisvektoren
${\delta }_{ij}=⟨{𝐠}^i,{𝐠}_j⟩$	$g_{ij}=⟨{𝐠}_i,{𝐠}_j⟩$	$g^{ij}=⟨{𝐠}^i,{𝐠}^j⟩$

Jacobi-Matrix:

$J=(D\phi )(u),J_{ij}=\frac{\partial {\phi }^i}{\partial u^j},1\le i\le m,1\le j\le n.$

Induzierter metrischer Tensor:

$g=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}_{ij}{𝐠}^i\otimes {𝐠}^j,$

$(g_{ij})=J^{T}J,$

$(g^{ij})=(g_{ij}{)}^{-1}.$

Kovariante Ableitung

Vektorfeld	Kovektorfeld
$v=\sum _k{v}^k{𝐠}_k$	$v=\sum _k{v}_k{𝐠}^k$
${\mathrm{\nabla }}_{i}v=\sum _k({\mathrm{\nabla }}_{i}v{)}^k{𝐠}_k$	${\mathrm{\nabla }}_{i}v=\sum _k({\mathrm{\nabla }}_{i}v{)}_k{𝐠}^k$
$({\mathrm{\nabla }}_{i}v{)}^k={\partial }_i{v}^k+\sum _j{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{v}^j$	$({\mathrm{\nabla }}_{i}v{)}_k={\partial }_i{v}_k-\sum _j{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^j{v}_j$
${\mathrm{\nabla }}_i{𝐠}_j=\sum _k{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{𝐠}_k$	${\mathrm{\nabla }}_i{𝐠}^k=-\sum _j{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{𝐠}^j$
${\mathrm{\nabla }}_w{𝐠}_j=\sum _{k,i}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{w}^i{𝐠}_k$
${\mathrm{\nabla }}_{w}v=\sum _k({\mathrm{\nabla }}_{w}v{)}^k{𝐠}_k$	${\mathrm{\nabla }}_{w}v=\sum _k({\mathrm{\nabla }}_{w}v{)}_k{𝐠}^k$
$({\mathrm{\nabla }}_{w}v{)}^k=D_w{v}^k+\sum _{i,j}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{w}^i{v}^j$
$({\mathrm{\nabla }}_{w}v{)}^k=\sum _i({\mathrm{\nabla }}_{i}v{)}^k{w}^i$

Christoffel-Symbole

Christoffelsymbole bezüglich einer lokalen Karte:

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=⟨{𝐠}^k,{\mathrm{\nabla }}_i{𝐠}_j⟩=-⟨{𝐠}_i,{\mathrm{\nabla }}_j{𝐠}^k⟩.$

Christoffelsymbole in Abhängigkeit des metrischen oder pseudo-metrischen Tensors:

${\mathrm{\Gamma }}_{ab}^d=\frac{1}{2}\sum _c{g}^{dc}({\partial }_a{g}_{bc}+{\partial }_b{g}_{ac}-{\partial }_c{g}_{ab}),$

${\mathrm{\Gamma }}_{cab}=\frac{1}{2}({\partial }_a{g}_{bc}+{\partial }_b{g}_{ac}-{\partial }_c{g}_{ab}),$

${\partial }_a{g}_{bc}={\mathrm{\Gamma }}_{bac}+{\mathrm{\Gamma }}_{cab},$

${\mathrm{\Gamma }}_{ab}^d={\mathrm{\Gamma }}_{ba}^d,{\mathrm{\Gamma }}_{cab}={\mathrm{\Gamma }}_{cba}.$

Musikalische Isomorphismen

Für eine Koordinatendarstellung wird eine Basis von $T_{p}M$ jeweils für jeden Punkt p benötigt. Sei dazu $({𝐠}_k{)}_{k=1}^n$ ein lokaler Rahmen und $({𝐠}^k{)}_{k=1}^n$ der dazu gehörige Korahmen. Die Metrik g wird als metrischer Tensor bezüglich des Korahmens dargestellt:

$g(p)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}_{ij}(p){𝐠}^i(p)\otimes {𝐠}^j(p),$

kurz

$g=g_{ij}{𝐠}^i\otimes {𝐠}^j.$

Eine äquivalente Definition ist nun

$X^{\mathrm{♭}}=(\sum _{k=1}^n{X}^k{𝐠}_k{)}^{\mathrm{♭}}:=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}_{ij}{X}^i{𝐠}^j$

und

${\omega }^{\mathrm{♯}}=(\sum _{k=1}^n{\omega }_k{𝐠}^k{)}^{\mathrm{♯}}:=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{g}^{ij}{\omega }_i{𝐠}_j,$

wobei die Gleichungen punktweise für Punkte p ∈ M gelten.

Eigenschaften

Bei $\mathrm{\Phi }$ handelt es sich für jeden Punkt p um eine bijektive lineare Abbildung. Es gilt also:

1. $(v+w{)}^{\mathrm{♭}}=v^{\mathrm{♭}}+w^{\mathrm{♭}},$
2. $(\lambda v{)}^{\mathrm{♭}}=\lambda v^{\mathrm{♭}},$
3. $(\psi +\omega {)}^{\mathrm{♯}}={\psi }^{\mathrm{♯}}+{\omega }^{\mathrm{♯}},$
4. $(\lambda \omega {)}^{\mathrm{♯}}=\lambda {\omega }^{\mathrm{♯}},$
5. $(v^{\mathrm{♭}}{)}^{\mathrm{♯}}=v,$
6. $({\omega }^{\mathrm{♯}}{)}^{\mathrm{♭}}=\omega .$

Außerdem gilt:

1. $(v_1\wedge \dots \wedge v_n{)}^{\mathrm{♭}}:=v_1^{\mathrm{♭}}\wedge \dots \wedge v_n^{\mathrm{♭}},$
2. $({\omega }_1\wedge \dots \wedge {\omega }_n{)}^{\mathrm{♯}}:={\omega }_1^{\mathrm{♯}}\wedge \dots \wedge {\omega }_n^{\mathrm{♯}}.$