Formelsammlung Mathematik: Reihenentwicklungen

Exponentialreihe

$\exp z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}z\in ℂ$

Logarithmus

$\ln (1-z)=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}|z|\le 1,z\ne 1$

Winkelfunktionen

Sinus

$\sin z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}z\in ℂ$

Kosinus

$\cos z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k}}{(2k)!}z\in ℂ$

Tangens

$\tan z=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{B_{2k}{2}^{2k}(1-2^{2k})}{(2k)!}{z}^{2k-1}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cdot \lambda (2k)}{{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k}}{z}^{2k-1}|z|<\frac{\pi }{2}$

Kotangens

$\cot z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{B_{2k}(2^{2k}-1)}{(2k)!}{z}^{2k-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{-2\zeta (2k)}{{\pi }^{2k}}{z}^{2k-1}0<|z|<\pi$

Sekans

$\sec z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|E_k|\frac{z^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cdot \beta (2k+1)}{{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1}}{z}^{2k}|z|<\frac{\pi }{2}$

Kosekans

$\csc z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{(2-2^{2k})B_{2k}}{(2k)!}{z}^{2k-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cdot \eta (2k)}{{\pi }^{2k}}{z}^{2k-1}0<|z|<\pi$

Hyperbelfunktionen

Sinus Hyperbolicus

$\sinh z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}z\in ℂ$

Kosinus Hyperbolicus

$\cosh z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k}}{(2k)!}z\in ℂ$

Tangens Hyperbolicus

$\tanh z=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}{2}^{2k}(2^{2k}-1)}{(2k)!}{z}^{2k-1}|z|<\frac{\pi }{2}$

Kotangens Hyperbolicus

$\coth z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}{2}^{2k}}{(2k)!}{z}^{2k-1}0<|z|<\pi$

Sekans Hyperbolicus

$\text{sech}z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_k\frac{z^k}{k!}|z|<\frac{\pi }{2}$

Kosekans Hyperboliucs

$\text{csch}z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2-2^{2k})B_{2k}}{(2k)!}{z}^{2k-1}0<|z|<\pi$

Arkusfunktionen

Arkussinus

$\arcsin z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|\le 1$

Ausdruck mit Arkussinus

$\frac{\arcsin z}{\sqrt{1-z^2}}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2z{)}^{2k-1}}{k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}|z|<1$

Potenzen des Arkussinus

${\arcsin }^{2}z=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2z{)}^{2k}}{k^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}|z|\le 1$

${\arcsin }^{3}z=6\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\sum _{m=0}^{k-1}\frac{1}{(2m+1{)}^2}\right]\frac{1}{2^{2k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|<1$

${\arcsin }^{4}z=6\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left[\sum _{m=1}^{k-1}\frac{1}{(2m{)}^2}\right]\frac{(2z{)}^{2k}}{k^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}|z|<1$

Arkuskosinus

$\arccos z=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{2k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|\le 1$

Arkustangens

$\arctan z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|\le 1,z\ne \pm i$

Areafunktionen

Areasinus Hyperbolicus

$\text{arsinh}z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{k})\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|\le 1$

Potenzen des Areasinus Hypoerbolicus

${\text{arsinh}}^{2}z=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}(2z{)}^{2k}}{k^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}|z|\le 1$

Areatangens Hyperbolicus

$\text{artanh}z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2k+1}}{2k+1}|z|\le 1,z\ne \pm 1$

Spezielle Funktionen

Zeta-Funktion

$\zeta (z)=\frac{1}{z-1}+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}{\gamma }_k(z-1{)}^k$

Gamma-Funktion

$\mathrm{\Gamma }(1+z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k_1+2k_2+...+n{k}_n=n}\frac{(-\gamma {)}^{k_1}}{k_1!}\prod _{m=2}^n\frac{{((-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m})}^{k_m}}{k_m!}{z}^n$

Digamma-Funktion

$\psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\zeta (k+1)z^k$

Bessel-Funktionen

$J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +2k}$

Lambert W-Funktion

$W(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{n}^{n-1}}{n!}{z}^n|z|<\frac{1}{e}$

[Reihe mit Bessel-Funktion]

$e^{\frac{z}{2}(t-\frac{1}{t})}=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{J}_n(z)t^n$

Ausdrücke mit Winkelfunktionen

cos(αx)/sin(απ)

$\pi \frac{\cos \alpha x}{\sin \alpha \pi }=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^k\cos kx}{k+\alpha }-\pi <x<\pi ,\alpha \notin \mathbb{Z}$

sin(αx)/sin(απ)

$-\pi \frac{\sin \alpha x}{\sin \alpha \pi }=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{(-1{)}^k\sin kx}{k+\alpha }-\pi <x<\pi ,\alpha \notin \mathbb{Z}$

cot(πz)

$\pi \cot \pi z=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+z}z\in ℂ\setminus \mathbb{Z}$

csc(πz)

$\pi \csc \pi z=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k+z}z\in ℂ\setminus \mathbb{Z}$

tan(πz)

$\pi \tan \pi z=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k+\frac{1}{2}-z}z\in ℂ\setminus \{k+\frac{1}{2}:k\in \mathbb{Z}\}$

sec(πz)

$\pi \sec \pi z=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k+\frac{1}{2}-z}z\in ℂ\setminus \{k+\frac{1}{2}:k\in \mathbb{Z}\}$

sin(α arcsin(z))

$\frac{\sin (\alpha \arcsin z)}{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n[(2k-1{)}^2-{\alpha }^2]\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Ausdrücke mit Wurzeln

9.1

$\frac{1}{2}[{(\sqrt{1+z^2}+z)}^{2\alpha }+{(\sqrt{1+z^2}-z)}^{2\alpha }]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha \frac{(\alpha +n-1)!}{(\alpha -n)!}\frac{(2z{)}^{2n}}{(2n)!}$

9.2

$\frac{1}{2}[{(\sqrt{1+z^2}+z)}^{2\alpha +1}-{(\sqrt{1+z^2}-z)}^{2\alpha +1}]=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\alpha +1}{2}\frac{(\alpha +n)!}{(\alpha -n)!}\frac{(2z{)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

9.3

${(\sqrt{1+z^2}+z)}^{2\alpha }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\alpha (\alpha +\frac{k}{2}-1)!}{(\alpha -\frac{k}{2})!}\frac{(2z{)}^k}{k!}$

Ausdrücke mit Hyperbelfunktionen

10.1

$\frac{\pi }{z}\frac{e^{\pi z}}{\cosh \pi z-\cos \pi z}=\frac{1}{\pi z^3}+\frac{1}{z^2}+\frac{\pi }{2z}+4\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2+(z-2k{)}^2}+8z\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{e^{2\pi k}-1}\frac{1}{z^4+4k^4}$

10.2

$\frac{\pi }{2}\frac{\sinh \pi z}{\cosh \pi z-\cos \pi z}=\frac{1}{2z}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{z^2+(z-2k{)}^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z}{z^2+(z+2k{)}^2}$

Rest

11.1

$(1+z{)}^{1/z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\left[\begin{array}{c}k\\ k-n\end{array}\right]z^n|z|\le 1,z\ne 0,1$

Lagrange-Inversion

Zu $x_0,y_0\in ℂ$ mit Umgebungen $U(x_0),V(y_0)$ sei $f:U(x_0)\to V(y_0),x\mapsto y_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k(x-x_0{)}^k$ eine biholomorphe Funktion.

Für die Koeffizienten $x_n(n\ge 1)$ der Umkehrfunktion $f^{-1}:V(y_0)\to U(x_0),y\mapsto x_0+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k(y-y_0{)}^k$

gibt es die Formel $x_n=\frac{1}{n!}{\left[\frac{{\mathrm{d}}^{n-1}}{\mathrm{d}{x}^{n-1}}{\left(\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}\right)}^n\right]}_{x\to x_0}$.