Formelsammlung Mathematik: Reihen

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Reihen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Zwei Reihen $A_n:={\sum }_{k=0}^n{a}_k$ und $B_n:={\sum }_{k=0}^n{b}_k$ können Gliedweise verglichen werden:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k:⟺(A_n)=(B_n)⟺\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0:A_n=B_n,$

oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k⟺\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n.$

Teleskopsumme

Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge $(a_n)$ durch

$b_0:=a_0,b_k:=a_k-a_{k-1}$

als Reihe

$a_n=\sum _{k=0}^n{b}_k=a_0+\sum _{k=1}^n(a_k-a_{k-1})$

darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.

Rechnen mit Reihen

Summen und Vielfache

Sind die Reihen $A_n:={\sum }_{k=0}^n{a}_k$ und $B_n:={\sum }_{k=0}^n{b}_k$ konvergent mit $A_n\to A$ und $B_n\to B$, so gilt:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k+b_k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k=A+B,$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k-b_k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k=A-B,$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}r{a}_k=r\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=rA.$

Cauchy-Produkt

Sei

$A_m:=\sum _{n=0}^m{a}_n,A_m\to A,$

$B_m:=\sum _{n=0}^m{b}_n,B_m\to B,$

$C_m:=\sum _{n=0}^m{c}_n,C_m\to C.$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt

$C=AB$.

Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen, eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt

$C=AB$.

Arten von Konvergenz

Absolute Konvergenz

Sei $X$ ein normierter Raum. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt: $X$ ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.

Unbedingte Konvergenz

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Ist $X$ ein Banachraum und $s_n$ eine absolut konvergente Reihe von Punkten $a_k\in X$, so ist $s_n$ auch unbedingt konvergent.

Konvergenzkriterien

Quotientenkriterium

Gegeben ist eine Reihe $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$, wobei die $a_k$ reelle oder komplexe Zahlen sind und $a_k\ne 0$ ab einem gewissen $k$ ist.

Existiert der Grenzwert

$g=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|,$

so gilt:

$g<1⟹(s_n)$ist absolut konvergent,

$g>1⟹(s_n)$ist divergent,

$g=1⟹$ keine Aussage.