Formelsammlung Mathematik: Quadratische Funktionen

Allgemeine quadratische Funktionen

Standardform

Definition. Eine Funktion der Form

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

mit $a\ne 0$ heißt quadratische Funktion.

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist

$f(x)=a\cdot (x-x_s{)}^2+y_s,$

wobei es sich bei $S=(x_s|y_s)$ um den Scheitelpunkt handelt.

Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden. Es ergibt sich:

$b=-2a{x}_s,$

$c=a{x}_s^2+y_s.$

Umgekehrt ist:

$x_s=-\frac{b}{2a},$

$y_s=c-a{x}_s^2=c-\frac{b^2}{4a}.$

Bei $x_s$ handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:

$x_s=\frac{x_1+x_2}{2}.$

Schnittpunkte

Parabel und Gerade

Gegeben ist

$f(x)=a{x}^2+bx+c,$

$g(x)=mx+n$

mit $a\ne 0$.

Aufgabe: Bestimme

$L=\{x\mid f(x)=g(x)\}.$

Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung

$0=a{x}^2+(b-m)+c-n.$

Berechnet wird die Diskriminante:

$D=(b-m{)}^2-4(c-n)a.$

D>0	D=0	D<0
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind: $x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},$ $x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.$	Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist: $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$	Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.

Interpolation

Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion $f(x)=x^2+px+q$ soll durch die Punkte $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für $p,q$:

$\left|\begin{array}{c}{x}_{1}p+q=y_1-x_1^2\\ x_{2}p+q=y_2-x_2^2\end{array}\right|.$

Die Lösungen sind:

$\begin{array}{cc}p& =\frac{(y_2-y_1)-(x_2^2-x_1^2)}{x_2-x_1},\\ q& =\frac{(y_1-x_1^2)x_2-(y_2-x_2^2)x_1}{x_2-x_1}.\end{array}$

Parabel durch drei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion $f(x)=a{x}^2+bx+c$ soll durch die Punkte $(x_1|y_1),(x_2|y_2)$ und $(x_3|y_3)$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für $a,b,c$:

$\left|\begin{array}{c}{x}_1^{2}a+x_{1}b+c=y_1\\ x_2^{2}a+x_{2}b+c=y_2\\ x_3^{2}a+x_{3}b+c=y_3\end{array}\right|.$

Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst

$f(x)=a_2\cdot (x-x_1)(x-x_2)+a_1\cdot (x-x_1)+y_1$

mit

$a_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

und

$a_2=\frac{1}{x_3-x_2}(\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}-a_1).$

Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich:

$\begin{array}{cc}a& =a_2,\\ b& =a_1-a_2\cdot (x_1+x_2),\\ c& =y_1-a_1{x}_1+a_2{x}_1{x}_2.\end{array}$