Formelsammlung Mathematik: Kurven

Parameterkurven

Sei $X$ ein topologischer Raum und $I$ ein reelles Intervall, geschlossen, offen oder halboffen, auch unbeschränkt. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox

Beispiele
Parameterkurve	Eigenschaften	Spur
$c(t):=\left[\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right],c:[0,2\pi ]\to {ℝ}^2$	Ein einfacher geschlossener Weg.	Der Einheitskreis.
$c(t):=\left[\begin{array}{c}\cos t\\ \sin (2t)/2\end{array}\right],c:[0,2\pi ]\to {ℝ}^2$	Ein geschlossener Weg mit Doppelpunkt.	Die Lemniskate von Gerono.

Anstelle von $c(t)$ ist auch die Bezeichnung $\gamma (t)$ üblich.

Differenzierbare Parameterkurven

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Eine Parameterkurve ist genau dann differenzierbar, wenn sie komponentenweise differenzierbar ist und für

$c(t)=(c_1(t),\dots ,c_n(t))$

gilt

$c^{\prime }(t)=({c_1}^{\prime }(t),\dots ,{c_n}^{\prime }(t)).$

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Interpretiert man eine Parameterkurve $c(t)$ als eine Bewegung eines Massepunktes mit der Zeit $t$, so handelt es sich beim Tangentialvektor um den Geschwindigkeitsvektor.

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Alle Repräsentanten einer Äquivalenzklasse besitzen die selbe Spur.

Bogenlänge

Sei $c:[a,b]\to {ℝ}^n$ ein Weg. Ist c stückweise stetig differenzierbar, dann ist c auch rektifizierbar und für die Länge gilt

$L_a^b(c):=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert c^{\prime }(t)\Vert \mathrm{d}t.$