Formelsammlung Mathematik: Kardinalzahlen

Definitionen zur Mächtigkeit

Die Reflexivität ist trivial, weil es immer ${id}_{A} : A \to A$ gibt, und id immer injektiv ist.
Das Reflexivitätsaxiom ist redundant, weil in der Totalität enthalten.
Die Transitivität folgt auch sofort aus der Definition, weil die Verkettung von zwei Injektionen wieder injektiv ist.

Weitere Regeln sind:

$A \subseteq B ⟹ | A | \leq | B | .$
Speziell gilt: Jede Teilmenge einer höchstens abzählbaren Menge ist auch höchstens abzählbar.
Jede Teilmenge einer endlichen Menge ist auch endlich.
Wenn $f : A \to B$ surjektiv ist, dann gilt $| B | \leq | A |$ .
Aus $| A | = | B |$ folgt immer $| A | \leq | B |$ , denn jede Bijektion ist auch injektiv.
Nach Definition gilt: $| A | < | B | ⟺ | A | \leq | B | \land | A | \neq | B |$ .
Infolge dessen auch: $| A | \leq | B | ⟺ | A | < | B | \lor | A | = | B |$ .
Nach den Axiomen gilt: $\neg (| A | \leq | B |) ⟺ | B | < | A |$ .
Nach den Axiomen gilt: $\neg (| A | < | B |) ⟺ | B | \leq | A |$ .
Die Relation $| A | < | B |$ erfüllt die Axiome einer strengen Totalordnung.

Für jede natürliche Zahl n gilt:

n < | ℕ | .

Für jede natürliche Zahl m gilt:

| ℕ | = | ℕ^{m} | .

Es gilt:

| ℕ | = | ℤ | = | ℚ | = | 𝔸 | < | 2^{ℕ} | = | 𝕋 | = | ℝ | = | ℂ |,

wobei mit $𝔸$ die Menge der algebraischen Zahlen und mit $𝕋$ die Menge der transzendenten Zahlen gemeint ist.