Formelsammlung Mathematik: Integralrechnung

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Stammfunktionen

Sei $I$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$. Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, so auch $F(x)+C$, wobei $C$ eine beliebige Konstante ist.

Rechenregeln

Elementare Rechenregeln

Sind $f,g$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar, so gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x,$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x,$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}cf(x)\mathrm{d}x=c\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x,$

$\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x:=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Für jede Funktion, die bei $a$ definiert ist, definiert man:

$\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(x)\mathrm{d}x:=0.$

Partielle Integration

Sind $F,g$ zwei auf $[a,b]$ stetig differenzierbare Funktionen, so gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{F}^{\prime }(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x=[F(x)\cdot g(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x)\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$

Substitutionsregel

Ist $I$ ein Intervall, $f:I\to ℝ$ stetig und $g:[a,b]\to I$ stetig differenzierbar, so gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}f(u)\mathrm{d}u.$

Bei einem Ausdruck der Form

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}h(g(x),x)\mathrm{d}x$

kann wie folgt vorgegangen werden.

Man substituiert $u:=g(x)$ und bestimmt $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=g^{\prime }(x)$ bzw. $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{g^{\prime }(x)}$. Nun gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}h(g(x),x)\mathrm{d}x=\underset{g(a)}{\overset{g(b)}{\int }}\frac{h(u,x)}{g^{\prime }(x)}\mathrm{d}u.$

Auf »gut Glück« ergibt sich

$\frac{h(u,x)}{g^{\prime }(x)}=\frac{f(u)\cdot g^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=f(u).$

Lineare Substitution

Nach der Substitutionsregel gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(mx+n)\mathrm{d}x=\frac{1}{m}\underset{ma+n}{\overset{mb+n}{\int }}f(u)\mathrm{d}u.$

Logarithmische Integration

Ist $f$ auf $[a,b]$ differenzierbar und hat $f$ auf $[a,b]$ keine Nullstellen, so gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\ln |f(b)|-\ln |f(a)|$.

Eigenschaften von Integralen

Monotonie

Sind $f,g$ auf $[a,b]$ Riemann-integrierbar und gilt $f(x)\le g(x)$ für alle $x\in [a,b]$, so muss auch

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$

sein. Ist $g(x)\ge 0$ für alle $x$, so gilt speziell

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x\ge 0.$

Integration von Winkelfunktionen

Universalsubstitution

$t:=\tan \frac{x}{2}$

$\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}$

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Die Universalsubstitution (Weierstraß-Substitution) kann bei Integralen der Form

$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$

angewendet werden, wobei $R$ eine rationale Funktion ist.

Spezialfälle

Integral der Form	Substitution
$\int R(\sin x)\cos (x)\mathrm{d}x$	$t:=\sin x$	$\mathrm{d}t=\cos (x)\mathrm{d}x$
$\int R(\cos x)\sin (x)\mathrm{d}x=-\int R(\cos x)(-\sin (x))\mathrm{d}x$	$t:=\cos x$	$\mathrm{d}t=-\sin (x)\mathrm{d}x$

Mit $R$ ist eine rationale Funktion gemeint.