Formelsammlung Mathematik: Gruppentheorie

Grundbegriffe

Gruppen

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Anstelle von $a*b$ schreibt man meistens $ab$.

In der additiven Schreibweise schreibt man $a+b$ anstelle von $ab$ und $na$ anstelle von $a^n$. Die additive Schreibweise findet bevorzugt bei abelschen Gruppen Verwendung.

Untergruppen

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Gruppenexponent

Es gilt:

1. $\mathrm{Exp}(G)=\mathrm{kgV}\{\mathrm{ord}(g)\mid g\in G\}$
2. $\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}:\mathrm{Exp}(G)=k|G|$

Zentralisator

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Der Zentralisator $Z_G(x)$ ist immer eine Untergruppe von G.

Zentrum

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Das Zentrum $Z(G)$ ist immer eine Untergruppe von G.

Produkt

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Das neutrale Element ist $(e_G,e_H)$. Das inverse Element zu $(g,h)$ ist $(g^{-1},h^{-1})$.

Für die Ordnung gilt wie für beliebige kartesische Produkte:

$|G\times H|=|G|\cdot |H|.$

Bei unendlichen Gruppen ist Kardinalzahlarithmetik anzuwenden.

Für die Ordnung eines Elements gilt:

$\mathrm{ord}((g,h))=\mathrm{kgV}(\mathrm{ord}(g),\mathrm{ord}(h))$.

Wenn ord(g) und ord(h) teilerfremd sind, das heißt ggT(ord(g),ord(h))=1, dann gilt:

$\mathrm{ord}((g,h))=\mathrm{ord}(g)\cdot \mathrm{ord}(h),$

weil für natürliche Zahlen a, b gilt:

$\mathrm{kgV}(a,b)\mathrm{ggT}(a,b)=ab.$

Die Gruppen G und H können in G×H eingebettet werden über die kanonischen Monomorphismen

${\phi }_1:G\to G\times H,{\phi }_1(g):=(g,e_H)$

und

${\phi }_2:H\to G\times H,{\phi }_2(h):=(e_G,h).$

Sei nun $G^{\prime }={\phi }_1(G)$ und $H^{\prime }={\phi }_2(H)$. Sei $P=G\times H$. Es gelten die folgenden drei Eigenschaften:

1. $G^{\prime }\cap H^{\prime }$ ist die triviale Gruppe $\{(e_G,e_H)\}$,
2. Jedes Element von P ist ein Produkt $gh$ mit $g\in G^{\prime }$ und $h\in H^{\prime }$,
3. Jedes Element von G' kommutiert mit jedem von H'.

Sei umgekehrt P ein beliebige Gruppe mit G und H als Untergruppen. Gelten die drei Eigenschaften:

1. $G\cap H$ ist trivial,
2. Jedes Element von P ist ein Produkt $gh$ mit $g\in G$ und $h\in H$,
3. Jedes Element von G kommutiert mit jedem von H,

dann ist P isomorph zu $G\times H$.

Elementare Eigenschaften

Elementare Regeln

Eine Gruppe besitzt nur ein einziges neutrales Element e.

Jedes Gruppenelement a besitzt nur ein einziges inverses Element $a^{-1}$.

In einer Gruppe gilt:

1. $ac=bc⟹a=b$
2. $ca=cb⟹a=b$
3. $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$

Gruppenaktionen

Bahnsatz

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:tbox Bemerkung: Mit wohldefiniert meint man bei einer Berechnung mit Äquivalenzklassen immer, dass das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, denn sonst wäre es nur eine Relation, aber keine Abbildung. Hier ist g ein Repräsentant der Linksnebenklasse $g{G}_x$.

Symmetrische Gruppe

Ist X eine endliche Menge, dann wird die endliche symmetrische Gruppe S(X) auch als Gruppe aller Permutationen von X bezeichnet. Die Untergruppen heißen Permutationsgruppen.

Eine Gruppenaktion $\phi :G\times X\to X$ lässt sich auch als Homomorphismus $\phi :G\to S(X)$ auffassen. Zunächst wird $\phi :G\times X\to X$ mittels Currying zu $\phi :G\to (X\to X)$ transformiert. Anstelle von $\phi (a,x)$ kann also auch $\phi (a)(x)$ geschrieben werden. Nun gilt bei einem Homomorphismus aber

$\phi (ab)=\phi (a)\circ \phi (b)$

und $\phi (e)=\mathrm{id}$. Es gilt also

$\phi (ab)(x)=\phi (a)(\phi (b)(x)).$

Dies entspricht genau der Definition der Gruppenaktion:

$\phi (ab,x)=\phi (a,\phi (b,x)).$

Für ein strukturiertes Objekt X mit strukturerhaltenden Automorphismen ist die Automorphismengruppe Aut(X) eine Untergruppe von S(X). Man kann auch S(X) als eine Automorphismengruppe betrachten, wenn Bijektionen als die Isomorphismen bezüglich der Erhaltung der Kardinalität aufgefasst werden. Genauer: Die Bijektionen sind die Isomorphismen der Kategorie Set der Mengen.

Homomorphismen

Definition

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Hierzu gibt es die folgenden Sprechweisen:

• Ein injektiver Homomorphismus wird Monomorphismus genannt.
• Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt.
• Ein bijektiver Homomorphismus wird Isomorphismus genannt.
• Ein Endomorphismus ist eine Selbstabbildung $\phi :G\to G$, die ein Homomorphismus ist.
• Ein bijektiver Endomorphismus wird Automorphismus genannt.

Regeln

Ist $\phi :G\to G^{\prime }$ ein Homomorphismus und $a\in G$, dann gilt:

$\phi (a^{-1})=\phi (a{)}^{-1}.$

Außerdem gilt

$\phi (e)=e^{\prime },$

wobei mit e das neutrale Element von G und mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Kern und Bild

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Der Kern ist stets eine Untergruppe von G, genauer ein Normalteiler von G. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn er einen trivialen Kern besitzt. Mit trivial ist Kern(φ)={e} gemeint, wobei {e} die triviale Untergruppe von G ist, die nur das neutrale Element enthält.

Das Bild φ(G) ist stets eine Untergruppe von G'.

Isomorphie

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist auch ein Isomorphismus.

Einbettungen

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Eine Einbettung verallgemeinert das Konzept der Untergruppe: Einerseits ist $H\simeq \phi (H)$, da φ bei Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmenge zu einem Isomorphismus wird. Andererseits gilt $\phi (H)\le G$.

Zyklische Gruppen

Definition

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Für jedes $g\in G$ ist $⟨g⟩$ eine Untergruppe von $G$.

Eigenschaften

Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zur Gruppe $(\mathbb{Z},+)$.

Jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung $n$ ist isomorph zur Restklassengruppe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

Es gilt:

$\mathrm{ggT}(m,n)=1⟹\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}.$

Prime Restklassengruppe

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Es gilt $\phi (n)=|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*}|$, wobei $\phi (n)$ die eulersche Phi-Funktion ist.

Es gilt $\lambda (n)=\mathrm{Exp}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*})$, wobei $\lambda (n)$ die Carmichael-Funktion ist.

Die Gruppe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{*}$ ist genau dann zyklisch, wenn $\phi (n)=\lambda (n)$.