Formelsammlung Mathematik: Gammafunktion

Definition

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Mit $\gamma$ ist die Euler-Mascheroni-Konstante gemeint.

Eigenschaften

Funktionalgleichung:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\cdot \mathrm{\Gamma }(z).$

Beziehung zur Fakultät:

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1).$

Ergänzungssatz:

$\mathrm{\Gamma }(z)\cdot \mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}.(z\in ℂ\setminus \mathbb{Z})$

Verdopplungsformel:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z}{2}\right)\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{z+1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2^{z-1}}\cdot \mathrm{\Gamma }(z).(z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \})$

Multiplikationsformel:

$\prod _{k=0}^{n-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{z+k}{n}\right)=\frac{(2\pi {)}^{(n-1)/2}}{n^{z-1/2}}\cdot \mathrm{\Gamma }(z).(z\in ℂ\setminus \{0,-1,-2,\dots \})$

Spezielle Werte

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Γ(x)	1	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880

x	1/2	3/2	5/2	7/2	(2n+1)/2
Γ(x)	$\sqrt{\pi }$	$\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$	$\frac{3}{4}\sqrt{\pi }$	$\frac{15}{8}\sqrt{\pi }$	$\frac{(2n)!}{n!\cdot 4^n}\sqrt{\pi }$

x	−1/2	−3/2	−5/2	(1−2n)/2
Γ(x)	$-2\sqrt{\pi }$	$\frac{4}{3}\sqrt{\pi }$	$-\frac{8}{15}\sqrt{\pi }$	$\frac{n!\cdot (-4{)}^n}{(2n)!}\sqrt{\pi }$

Graph

Reelle Gammafunktion. Betrag der komplexen Gammafunktion. Komplexe Gammafunktion.