Formelsammlung Mathematik: Funktionentheorie

Holomorphe Funktionen

Interpretation als spezielles Vektorfeld

Auf dem Koordinatenraum wird das Vektorfeld

$𝐯:=(u,-v)=(v_x,v_y)=v_x{𝐞}_x+v_y{𝐞}_y$

definiert. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun als Quellenfreiheit

$0=⟨\mathrm{\nabla },𝐯⟩=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}$

und Rotationsfreiheit

$0=\mathrm{\nabla }\wedge 𝐯=(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}){𝐞}_x\wedge {𝐞}_y$

interpretieren.

Hilfsbegriffe

Für das totale Differential

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$

gibt es die Umformulierung

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\mathrm{d}\bar{z}.$

Hierbei ist $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x+\mathrm{i}\mathrm{d}y$ und $\mathrm{d}\bar{z}=\mathrm{d}x-\mathrm{i}\mathrm{d}y$.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lassen sich nun zur Gleichung

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0)=0$

zusammenfassen. Für holomorphe Funktionen reduziert sich das totale Differential wegen der letzten Gleichung auf die Form

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z.$

Harmonische Funktionen

Ist $f=u+v\mathrm{i}$ an der Stelle z₀ holomorph, so sind der Realteil u und der Imaginärteil v an der Stelle $(x_0,y_0)=(\mathrm{Re}{z}_0,\mathrm{Im}{z}_0)$ harmonisch. Das heißt es gilt

$(\mathrm{\Delta }u)(x_0,y_0)=0,(\mathrm{\Delta }v)(x_0,y_0)=0.$

Ist eine Funktion u auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet harmonisch, so lässt sich stets eine harmonische Funktion v finden, so dass $f=u+v\mathrm{i}$ holomorph ist. Die Funktion v ist bis auf eine additive reelle Konstante c eindeutig bestimmt. Das heißt, v darf auch durch v+c ersetzt werden.

Die Funktion v wird die harmonisch Konjugierte zu u genannt. An jeder Stelle (x₀, y₀) treffen die Linien

$\begin{array}{cc}& \{(x,y)\mid u(x,y)=u(x_0,y_0)\},\\ & \{(x,y)\mid v(x,y)=v(x_0,y_0)\}\end{array}$

senkrecht aufeinander.

Wegintegrale

Integral einer komplexwertigen Funktion

Für $f:[a,b]\to ℂ$ mit $f=u+\mathrm{i}v$ ist

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t)\mathrm{d}t+\mathrm{i}\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\mathrm{d}t,$

wenn u und v integrierbar sind.

Integralsatz von Cauchy

Sind die Voraussetzungen für den Integralsatz erfüllt, dann motiviert Wegunabhängigkeit die Definition

$\underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}f(z)\mathrm{d}z:=F(z_2)-F(z_1),$

bei der auf Wege gänzlich verzichtet wird.