Formelsammlung Mathematik: Folgen

Grenzwert

Beschaffenheit von $X$	Abstandsfunktion
$X=ℝ$	$d(p,g)=|p-g|$
$X$ ist ein normierter Raum	$d(p,g)=\Vert p-g\Vert$
$X$ ist ein metrischer Raum	$d(p,g)$ ist die Metrik

Eine Folge hat höchstens einen Grenzwert. Voraussetzung: die Werte der Folge liegen in einem Hausdorff-Raum. Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum und jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum.

Grenzwertsätze

Vergleichssatz

Gilt $a_n\to a$ und $b_n\to b$ und ab einem bestimmten Index immer $a_n\le b_n$, so ist auch $a\le b$.

Einschnürungssatz

Gilt $a_n\to g$ und $b_n\to g$ und ab einem bestimmten Index immer $a_n\le c_n\le b_n$, so gilt auch $c_n\to g$.

Rechenregeln

Seien $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_n\to a$ und $b_n\to b$. Es gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)=a+b,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=a-b,$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{b}_n)=ab.$

Ist $b\ne 0$, so gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}.$

Allgemeine Rechenregeln

Seien $(a_n)$ und $(b_n)$ konvergente Folgen von reellen Zahlen mit $a_n\to a$ und $b_n\to b$.

Ist $f:ℝ\to ℝ$ stetig bei $a$, so gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(a_n)=f(a).$

Ist $g:{ℝ}^2\to ℝ$ stetig bei $(a,b)$, so gilt:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(a_n,b_n)=g(a,b).$

Konvergenzkriterien

Monotoniekriterium

Man betrachte Folgen von reellen Zahlen.

• Jede monoton wachsende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Supremum der Folge.
• Jede monoton fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist. Der Grenzwert ist das Infimum der Folge.

Cauchy-Kriterium

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Cauchy-Kriterium: Eine Folge von reellen Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.