Formelsammlung Mathematik: Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Z. B. ist beim Würfeln

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

und das Ereignis {2, 4} ist eingetreten, wenn eine zwei oder eine vier gewürfelt wurde.

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Beim Würfeln gilt

$P(A)=\frac{|A|}{6},$

wobei mit |A| die Anzahl der Elemente vom Ereignis A gemeint ist. Z. B. ist

$P(\{2,4\})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Axiome von Kolmogorow

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Bei einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und Σ:=2^Ω sind die Axiome erfüllt.

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten

Aus den Axiomen von Kolmogorow folgen folgende Rechenregeln für ein Wahrscheinlichkeitsmaß P:

Regel	Kommentar
$P(\{\})=0$	Das umögliche Ereignis trifft niemals ein.
$P(\mathrm{\Omega })=1$	Das sichere Ereignis trifft immer ein.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	Siebformel.

Für drei Ereignisse A, B, C gilt:

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)$.

Man nennt $\bar{A}:=\mathrm{\Omega }\setminus A$ das komplementäre Ereignis zu A. Es gilt:

Regel	Kommentar
$A\cup \bar{A}=\mathrm{\Omega }$	Entweder tritt das Ereignis oder das Komplement ein (disjunkte Zerlegung), denn Ω tritt sicher ein.
$A\cap \bar{A}=\{\}$	Ereignis und Komplement schließen sich aus (sind disjunkt), denn {} tritt niemals ein.
$P(A\cup \bar{A})=P(A)+P(\bar{A})=1.$	Die Wahrscheinlichkeit für das Komplement ist 1−P(A).

Mehrstufige Experimente

Zweistufiges Experiment mit vorzeitigem Abbruch beim Ergebnis a₂. Baumdiagramm zur Ergebnismenge
{(a₁,b₁), (a₁,b₂), a₂}.

Ein zweistufiges Zufallsexperiment mit einem ersten Ergebnis aus Ω₁ und einem zweiten aus Ω₂ lässt sich als Zufallsexperiment modellieren, bei dem die Ergebnismenge das kartesische Produkt Ω = Ω₁×Ω₂ ist. Bei einem n-stufigen Experiment gilt

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1\times \dots \times {\mathrm{\Omega }}_n.$

Auch beim Vorhandensein von Abbruchbedingungen kann Ω als kartesisches Produkt formuliert werden, wenn die Pfade nach dem Abbruch alle eine Pfadwahrscheinlichkeit von null erhalten. Alternativ ist eine Formulierung von Ω als Vereinigungsmenge von Ereignissen möglich. Betrachte z. B.

$\mathrm{\Omega }=(\{a_1\}\times \{b_1,b_2\})\cup \{a_2\},$

wo ein Abbruch stattfindet, wenn a₂ eingetreten ist.

Zweistufiges Experiment mit disjunkten Zerlegungen Ω = A₁∪A₂∪A₃ und Ω = B∪C. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A₁∩B ist P(A₁) mal P(B|A₁).

Sind bei einem n-stufigen Experiment die Teilexperimente alle Laplace-Experimente, dann gilt

$P(\{t\})=\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}=\prod _{k=1}^n\frac{1}{|{\mathrm{\Omega }}_k|}$

mit t ∈ Ω und Ω = Ω₁×…×Ω_n.

Führt man immer wieder das selbe Laplace-Experiment aus, gilt

$P(t)=\frac{1}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{|{\mathrm{\Omega }}_1{|}^n}$

mit $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1^n$.

Würfelt man z. B. n-mal hintereinander, dann gibt es 6ⁿ totale Pfade und für jeden totalen Pfad ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von (1/6)ⁿ.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Bei

$P^{\prime }(A):=P(A|B),P^{\prime }:2^B\to [0,1]$

handelt es sich wieder um ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Satz von Bayes. Für P(A)>0 und P(B)>0 gilt:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}.$

Laplace-Verteilung

Formelsammlung Mathematik: Vorlage:dbox Bei einer Laplace-Verteilung gilt

$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$

Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable X überträgt die Wahrscheinlichkeitsrechnung vom Raum (Ω, P) in den neuen Wahrscheinlichkeitsraum (R, P_X), wobei

$P_X:2^{X(\mathrm{\Omega })}\to [0,1],P_X(A):=P(X^{-1}(A))$

definiert wird. Mit

$X^{-1}(A):=\{\omega \in \mathrm{\Omega }\mid X(\omega )\in A\}$

ist das Urbild von A gemeint. Die folgenden Kurzschreibweisen haben sich eingebürgert:

$\begin{array}{cc}P(X\in A)& :=P(\{\omega \mid X(\omega )\in A\}),\\ P(X=x)& :=P(\{\omega \mid X(\omega )=x\}),\\ P(X\le x)& :=P(\{\omega \mid X(\omega )\le x\}).\end{array}$

Wenn man ein Urbild direkt angeben möchte, schreibt man auch

$\{X\in A\}:=\{\omega \mid X(\omega )\in A\}$

usw.

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Für eine Verteilungsfunktion F gilt:

1. F ist monoton wachsend,
2. F ist rechtsseitig stetig,
3. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to -\mathrm{\infty }}F(x)=0$,
4. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}F(x)=1$,
5. $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$.