Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,sin,sinh)

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0.1

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin \pi x^2}{{\sinh }^2\pi x}dx=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

2.1

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin \frac{p}{q}\pi x^2}{{\sinh }^2\pi x}dx=\frac{1}{2}\text{Im}(2\pi i\sum _{k=0}^{4pq}\text{res}(f,i\frac{k}{2p})-i\pi \text{res}(f,0)-i\pi \text{res}(f,i\cdot 2q))$ mit $f(z)=\frac{e^{i\frac{p}{q}{z}^2}}{{\sinh }^2\pi z}\cdot \frac{e^{2\pi pz}}{\sinh 2\pi pz}$

3.1

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin ax}{x}\frac{\sinh \beta x}{\sinh \gamma x}dx=\arctan (\tan \frac{\beta \pi }{2\gamma }\tanh \frac{a\pi }{2\gamma })|\text{Re}(\beta )|+|\text{Im}(a)|<\text{Re}(\gamma )$

4.1

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{\sinh (nx)}\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2n}\tanh \left(\frac{\pi }{2n}\right)$

Diese Formel ist für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb{N}$ gültig.