Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,Gamma)

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3.1

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\alpha -ix{)}^n\mathrm{\Gamma }(\beta +ix)dx=\frac{2\pi }{e}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\alpha +\beta {)}^k{\varphi }_{n-k}(-1)$

4.1

$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+x)}{{\beta }_1^{{\alpha }_1+x}}\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_2-x)}{{\beta }_2^{{\alpha }_2-x}}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{({\beta }_1+{\beta }_2{)}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}\text{Re}({\alpha }_1),\text{Re}({\alpha }_2),\text{Re}({\beta }_1),\text{Re}({\beta }_2)>0$

4.2

$\frac{1}{2\pi i}\underset{-i\mathrm{\infty }}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+x)\mathrm{\Gamma }(b-x)}{\mathrm{\Gamma }(c+x)\mathrm{\Gamma }(d-x)}dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)\mathrm{\Gamma }(c+d-a-b-1)}{\mathrm{\Gamma }(c+d-1)\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(d-b)}$

4.3

Sind $a,b,c,d$ komplexe Zahlen und ist $\gamma$ eine Kurve, welche die Polstellen

$(-a-n{)}_{n\ge 0}$ und $(-b-n{)}_{n\ge 0}$ von den Polstellen $(c-n{)}_{n\ge 0}$ und $(b-n{)}_{n\ge 0}$ trennt, so gilt

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\Gamma }(a+z)\mathrm{\Gamma }(b+z)\mathrm{\Gamma }(c-z)\mathrm{\Gamma }(d-z)dz=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+c)\mathrm{\Gamma }(a+d)\mathrm{\Gamma }(b+c)\mathrm{\Gamma }(b+d)}{\mathrm{\Gamma }(a+b+c+d)}$

4.4

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\mathrm{\Gamma }(a+x)\mathrm{\Gamma }(b+x)\mathrm{\Gamma }(c-x)\mathrm{\Gamma }(d-x)}=\frac{\mathrm{\Gamma }(a+b+c+d-3)}{\mathrm{\Gamma }(a+c-1)\mathrm{\Gamma }(a+d-1)\mathrm{\Gamma }(b+c-1)\mathrm{\Gamma }(b+d-1)}\text{Re}(a+b+c+d)>3$