Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Allgemeine Integralformeln

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1.1

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x-\frac{b}{x})dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dxb>0$

1.2

Ist $\varphi (x):=x-\sum _{k=0}^n\frac{a_k}{x+b_k}$ mit $a_0,a_1,\mathrm{...},a_n>0$ und $b_0,b_1,\mathrm{...},b_n\in ℝ$, so gilt ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\varphi (x))dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$.

2

Für ein $0<\delta <1$ sei $H(\delta ):=\{z\in ℂ|\text{Re}(z)\ge -\delta \}$.

$f:H(\delta )\to ℂ$ sei eine analytische Funktion, zu der es Konstanten $C,P\in ℝ$ und $A<\pi$ gibt,

so dass $|f(z)|\le C\cdot e^{P\cdot \text{Re}(z)+A\cdot |\text{Im}(z)|}$ gilt $\mathrm{\forall }z\in H(\delta )$.

Wenn man für $x>0$ und ein $0<c<\delta F(x):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{c-i\mathrm{\infty }}^{c+i\mathrm{\infty }}\frac{\pi }{\sin \pi z}f(-z)x^{-z}dz$ setzt, so ist

$F(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(k)(-x{)}^k$ für $0<x<e^{-P}$   und   ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}F(t)t^{s-1}dt=\frac{\pi }{\sin \pi s}f(-s)$ für $0<\text{Re}(s)<\delta$.

3

Es sei $f$ eine rationale Funktion ohne Polstellen auf der positiven reellen Achse und mit höchstens einer einfachen Polstelle im Ursprung.

Ist dann der Nennergrad um mindestens 2 größer als der Zählergrad, so gilt:

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)x^{\alpha }dx=\frac{\pi }{\sin \alpha \pi }\sum \text{res}(f(-z)z^{\alpha })0<\alpha <1$

4

Ist $f:ℝ\to ℝ$ integrierbar und $\pi$-periodisch, so gilt

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\frac{\sin x}{x}dx={\int }_0^{\pi }f(x)dx$ und $\text{p.V.}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\frac{\tan x}{x}dx={\int }_0^{\pi }f(x)dx$

5

Für $|R|>|r|\ge 0$ und $\varphi \in ℂ$, mit $\left|\text{Im}\varphi \right|<\log \left|\frac{R}{r}\right|$ falls $r\ne 0$ ist, sei der Poissonsche Integralkern $P_R(r,\varphi )$ definiert als $\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos \varphi +r^2}$.

Ist $f:\overline{B_R(0)}\to ℂ,z\mapsto \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$ eine holomorphe Funktion, so gilt $\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{P}_R(r,\varphi -\phi )f(R{e}^{i\phi })d\phi =f(r{e}^{i\varphi })$.

6

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x+\frac{\alpha }{x})dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(\sqrt{x^2+4\alpha }\right)dx\alpha >0$

7

$(a).{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)G\left(x\right)dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)F\left(x\right)dx$ $(b).{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)x^{n}dx={(-1)}^n{F}^{(n)}\left(0\right)n\in \mathbb{Z}$

$(c).{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f\left(x\right)}{x}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}F\left(x\right)dx$

hier $F\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)e^{-xt}dt$ und $G\left(x\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}g\left(t\right)e^{-xt}dt$ Blender3D: Vorlage:Klappbox