Formelsammlung Elektrotechnik: Digitaltechnik

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Rechnen mit Dualzahlen

Umrechnung Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme

Dezimalsystem (Basis 10)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Dualsystem (Basis 2)	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Oktalsystem (Basis 8)	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Hexadezimalsystem (Basis 16)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Umwandlung Dual - Dezimal - Hexadezimal - Oktal

Dual in Dezimal $1010=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=1\cdot 2^3+1\cdot 2^1=8+2=10$
Dezimal in Dual Beispiel mit Dezimalzahl 41 $\begin{array}{ccccc}41& :2& =& 20& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\\ 20& :2& =& 10& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟎}\\ 10& :2& =& 5& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟎}\\ 5& :2& =& 2& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\\ 2& :2& =& 1& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟎}\\ 1& :2& =& 0& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\end{array}\uparrow$ Ergebnis: 101001
Hexadezimal in Dezimal $4FE=4\cdot 16^2+15\cdot 16^1+14\cdot 16^0=1278$
Dezimal in Hexadezimal Beispiel mit Dezimalzahl 1278 $\begin{array}{ccccc}1278& :16& =& 79& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}\\ 79& :16& =& 4& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟓}\\ 4& :16& =& 0& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟒}\end{array}\uparrow$ Ergebnis: 4FE
Oktal in Dezimal $172=1\cdot 8^2+7\cdot 8^1+2\cdot 8^0=122$
Dezimal in Oktal Beispiel mit Dezimalzahl 122 $\begin{array}{ccccc}122& :8& =& 15& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟐}\\ 15& :8& =& 1& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟕}\\ 1& :8& =& 0& \mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{𝟏}\end{array}\uparrow$ Ergebnis: 172

Verknüpfungsbausteine

AND-Gatter (UND-Verknüpfung)

$Y=A\wedge B$ $Y=A\cdot B$ $Y=AB$

A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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OR-Gatter (ODER-Verknüpfung)

$Y=A\vee B$ $Y=A+B$

A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

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NAND-Gatter (negierte UND-Verknüpfung)

$Y=\overline{A\wedge B}$ $Y=A\bar{\wedge }B$ $Y=\overline{AB}$

A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

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NOR-Gatter (negierte ODER-Verknüpfung)

$Y=\overline{A\vee B}$ $Y=A\bar{\vee }B$ $Y=\overline{A+B}$

A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

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XOR-Gatter (Exklusiv-ODER/Antivalenz)

$Y=A\underset{\_}{\vee }B$ $Y=A\oplus B$

A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

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XNOR-Gatter (Exklusiv-NOR/Äquivalenz)

$Y=\overline{A\underset{\_}{\vee }B}$ $Y=A\overline{\underset{\_}{\vee }}B$ $Y=\overline{A\oplus B}$

A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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Schaltalgebra - Rechenregeln für eine Variable

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Beispiel an einer UND-Verknüpfung:

$Y=A\wedge B\wedge C=A\wedge C\wedge B=B\wedge A\wedge C=C\wedge B\wedge A$

Beispiel an einer ODER-Verknüpfung:

$Y=A\vee B\vee C=A\vee C\vee B=B\vee A\vee C=C\vee B\vee A$

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

Beispiel an einer UND-Verknüpfung:

$Y=A\wedge B\wedge C=(A\wedge B)\wedge C=(B\wedge C)\wedge A=(A\wedge C)\wedge B$

Beispiel an einer ODER-Verknüpfung:

$Y=A\vee B\vee C=(A\vee B)\vee C=(B\vee C)\vee A=(A\vee C)\vee B$

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Beispiel in konjunktiver Form:

$Y=(A\wedge B)\vee (A\wedge C)=A\wedge (B\vee C)$

Beispiel in disjunktiver Form:

$Y=(A\vee B)\wedge (A\vee C)=A\vee (B\wedge C)$

Schaltalgebra - Rechenregeln für mehrere Variablen

De Morgansches Gesetz (Umkehrgesetz)

Umwandlung einer NAND-Verknüpfung in eine ODER-Verknüpfung

$\overline{A\wedge B}=\bar{A}\vee \bar{B}$

Umwandlung einer NOR-Verknüpfung in eine UND-Verknüpfung

$\overline{A\vee B}=\bar{A}\wedge \bar{B}$

Das Karnaugh-Veitch-Diagramm

Bild 1

Bild 2

Vereinfachung einer Funktion mit einen KV-Diagramm

Übetrage aus der Wertetabelle alle Kombinationen mit Hilfe der Disjunktive Normalform (DNF) X = 1 oder der Konjunktive Normalform (KNF) X = 0 in das KV-Diagramm

Disjunktive Normalform X = 1   A     B     C     D     X   0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1	Bild 3

Fasse die benachbarten Felder zu Blöcken zusammen.

Bild 4

Lese bei X = 1 die UND-Terme, bei X = 0 die ODER-Terme ab. Beim Beispiel lautet die Vereinfachung bei X = 1

$Y=(C\wedge D)\vee (C\wedge \bar{D})$