Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die quadratische Gleichung

Die quadratische Gleichung

Unter der quadratischen Gleichung versteht man eine Gleichung der Form $x^2+px+q=0$. Dabei ist $x$ die Unbekannte, und der Ausdruck $x^2+px+q$ ein Polynom zweiten Grades. Die Quadratische Gleichung lässt sich in drei Fälle unterscheiden:

• Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
• Eine quadratische Gleichung hat eine Lösung
• Eine quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung

Graphisch lässt sich das durch eine Parabel und ihre Lage zur x-Achse in einem Koordinatensystem darstellen:

Wie löst man quadratische Gleichungen

Wie so häufig in der Mathematik gilt: „Alle Wege führen nach Rom“ oder besser „Alle Wege führen zum Ziel“. Hier werden also möglichst viele Lösungswege vorgestellt, und die Zusammenhänge zwischen den Lösungswegen gezeigt.

Alle Wege werden an einer quadratischen Gleichung vorgeführt: $x^2-14x+45=0$

Die quadratische Ergänzung

Frischen wir nochmal unser Wissen über die binomischen Formeln auf:

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Wie hilft das bei der quadratischen Gleichung? Die quadratische Gleichung lautet: $x^2-14x+45=0$. Interessant ist dabei der Term $-14x$. Wenn $-14x$ dem Teil $-2ab$ der zweiten Binomischen Formel $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ entspricht, läßt sich die vollständige zweite binomische Gleichung rekonstruieren: $x^2-14x+49=(x-7{)}^2$.

Um die vorliegende quadratische Gleichung also in die gewünschte Form zu bringen, addiert man die Zahl Vier auf beiden Seiten:

$x^2-14x+45+4$	$=$	$0+4$
$x^2-14x+49$	$=$	$4$
$(x-7)\cdot (x-7)$	$=$	$4$
$(x-7{)}^2$	$=$	$4$

Wie man feststellen kann, sind auf beiden Seiten quadratische Ausdrücke. Ziehen wir also die Wurzel:

$\sqrt{(x-7{)}^2}$	$=$	$\sqrt{4}$
$x-7$	$=$	$\pm 2$

Es gibt zwei Lösungen, da sich $4$ sowohl als $2\cdot 2$ als auch als $(-2)\cdot (-2)$ darstellen lässt. Die Lösungen sind:

• $x_1=2+7=9$

und

• $x_2=-2+7=5$

Dass sich eine quadratische Gleichung so einfach lösen lässt, ist allerdings die Ausnahme!

Die pq-Formel

Die pq-Formel ist zweiteilig:

$x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$

Setzen wir ein:

$x_1=$	$\frac{14+\sqrt{14^2-4\cdot 45}}{2}$
$x_1=$	$\frac{14+\sqrt{196-180}}{2}$
$x_1=$	$\frac{14+\sqrt{16}}{2}$
$x_1=$	$\frac{14+4}{2}$
$x_1=$	$\frac{18}{2}$
$x_1=$	$9$

Für $x_2$ wird das Ganze verkürzt:

$x_2=$	$\frac{14-4}{2}$
$x_2=$	$\frac{10}{2}$
$x_2=$	$5$

Die Satzgruppe von Vieta

Die Satzgruppe lässt sich als Test dafür verwenden, ob die quadratische Gleichung richtig gelöst wurde. Bei der Satzgruppe von Vieta handelt es sich um drei Gleichungen:

$-p=x_1+x_2$

$q=x_1\cdot x_2$

$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Die ersten beiden Gleichungen lassen sich aus den pq-Formeln herleiten.