Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die Potenzfolgen

Die Potenzfolgen

Einleitung

Unter einer Potenzfolge versteht man die aufsteigende Folge von Potenzen einer Basis. Die bekannteste Potenzfolge ist die Folge der Zweierpotenzen: $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...$.

In einigem gleichen die Potenzfolgen der Fibonacci-Folge bzw. der Lucas-Folge:

Die Differenzfolge der Fibonacci-Folge sieht so aus:

$0$		$1$		$1$		$2$		$3$		$5$		$8$		$13$		$21$		$34$		$55$		$...$
	$1$		$0$		$1$		$1$		$2$		$3$		$5$		$8$		$13$		$21$		$...$

Wie man sieht, enthält die Differenzfolge der Fibonacci-Folge wieder die Fibonacci-Folge selbst.

Die Differenzfolge der Lucas-Folge:

$2$		$1$		$3$		$4$		$7$		$11$		$18$		$29$		$47$		$76$		$123$		$...$
	$-1$		$2$		$1$		$3$		$4$		$7$		$11$		$18$		$29$		$47$		$...$

Auch hier ist die Lucas-Folge wiederum in der Differenz-Folge der Lucas-Folge enthalten. Das ist auch nicht verwunderlich, da die rekursive Bildungsregel beider Folgen besagt, das ein Glied die Summe seiner beiden Vorgänger ist ($a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$). Demzufolge gilt für jedes Glied der Differenzfolge $a_{n-2}=a_n-a_{n-1}$. Das ergebnis ist eine verschobene Folge.

Wie sieht es nun bei den Potenzfolgen aus? Als Beispiele dienen die Folge der 2er-Potenzen und die Folge der 3er-Potenzen:

Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge:

$1$		$2$		$4$		$8$		$16$		$32$		$64$		$128$		$256$		$512$		$1024$		$...$
	$1$		$2$		$4$		$8$		$16$		$32$		$64$		$128$		$256$		$512$		$...$

Die Differenzfolge der 2er-Potenzfolge ist wiederum eine verschobene Folge der 2er-Potenzen.

$1$		$3$		$9$		$27$		$81$		$243$		$729$		$2187$		$6561$		$$		$$		$...$
	$2$		$6$		$18$		$54$		$$		$$		$$		$$		$$		$$		$...$

Die Differenzfolge der 3er-Potenzen ist keine verschobene Folge der 3er-Potenzen. Aber wenn man die Glieder der Differenzfolge halbiert, so bekommt man auch hier die Folge der 3er-Potenzen.