Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Die Lucas-Folge im Speziellen

Die Lucas-Folge

Wegen ihrer zur Fibonacci-Folge gleichen Bildungsregel $L_n=L_{n-2}+L_{n-1}$ wird sie mit der Fibonacci-Folge in Zusammenhang gebracht. Sie unterscheidet sich allerdings in den beiden Anfangsgliedern. Statt $f_0=0$ und $f_1=1$ lauten die beiden Anfangsglieder $L_0=2$ und $L_1=1$.

Die Lucas-Folge beginnt mit: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...

Jedes Glied der Lucasfolge läßt sich auch über die Summe zweier Fibonacci-Glieder berechnen:

$L_n=f_{n-1}+f_{n+1}$

Oder als Potenz des goldenen Schnitts:

$L_n=\lfloor {\mathrm{\Phi }}^n+\frac{1}{2}\rfloor \mathrm{\forall }n\ge 2$

Es gibt dann noch eine andere rekursive Bildungsregel:

$L_{n+1}=\lfloor \frac{L_n(1+\sqrt{5})+1}{2}\rfloor \mathrm{\forall }n\ge 4$

Und die Formel von Binet:

$L_n={\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n$

Eigenschaften der Lucas-Folge

• Bezüglich der Teilbarkeit gilt: Wenn $p$ eine Primzahl ist, dann ist $L_p-1$ durch $p$ teilbar.