Fibonacci-Folgen, Lucas-Folgen und der goldene Schnitt: Die allgemeine Fibbonacci-Folge

Einleitung

Im Gegensatz zu den vorhergehenden Kapitel wird der Bereich der Folgen verlassen.

Folgen in das Negative

Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen, und hierbei sind alle Folgen gemeint, die sich durch ein Bildungsgesetz $F_n=F_{n-2}+F_{n-1}$ bilden lassen, läßt im Umkehrschluß die Regel $F_{n-2}=F_n-F_{n-1}$ zu. Das bedeutet, daß man eine Fibonacci-Folge nach beiden Seiten in das Unendliche fortsetzen kann. Eine Fibonacci-Folge mit den Startwerten $F_0=2$ und $F_1=7$ würde also so dargestellt werden können:

$\cdots (-51)31(-20)11(-9)\underset{\_}{2}\underset{\_}{7}9162541\cdots$

Die als Fibonacci-Folge und die als Lucas-Folge bekannten Folgen fallen beide dadurch auf, daß sie dabei symmetrisch sind:

$\mathrm{Fibonacci-Folge:}\cdots 13(-8)5(-3)2(-1)1\underset{\_}{0}\underset{\_}{1}1235813\cdots$

$\mathrm{Lucas-Folge:}\cdots (-11)7(-4)3(-1)2134711\cdots$

Damit wurde der Bereich der Folgen verlassen, und das aus wenigstens zwei Gründen:

1. Man geht davon aus, daß eine Folge an einer Stelle anfängt
2. Dieses Konstrukt ist als Folge nicht mehr eindeutig

Eine Folge mit den Startwerten $F_0=3$ und $F_1=2$ wäre etwa identisch mit der Folge mit den Startwerten $F_0=5$ und $F_1=7$. Zumindest wären beide "Folgen" durch nichts voneinander zu unterscheiden:

$\cdots 9(-5)4(-1)\underset{\_}{3}\underset{\_}{2}5712\cdots$

$\cdots 9(-5)4(-1)32\underset{\_}{5}\underset{\_}{7}12\cdots$

Statt der Darstellungweise als Folge läßt sich das Ganze auch durch 2-Tupel darstellen:

Der Nachfolger von $\mathrm{F}(a_0,a_1)$ ist $\mathrm{F}(a_1,a_2)$, und umgekehrt hat $\mathrm{F}(a_1,a_2)$ den Vorgänger $\mathrm{F}(a_0,a_1)$