Einführung in die Quantenfeldtheorie/ Feldtheorie

Im folgenden bezeichnen wir einen dreidimensionalen Ortsvektor mit $\overrightarrow{r}$ in Komponenten $x_k=\overrightarrow{r_k}$ für k=1,2,3 und $x_4=it$ wobei $c=\hslash =1$.

Klassische Mechanik

Es sei ein klassisches System mit verallgemeinerten Koordinaten gegeben $q_i$(i=1,2,..,N). Zum Beispiel für $N=3n$ für n Teilchen in $R^3$. Sei die Lagrangefunktionen gegeben als $L=L(q_i,\dot{q_j})$ wobei $\dot{q_i}$ die Ableitung nach dem Zeitparameter von $q_i$ ist. Nun erhält man die Bewegungsgleichungen durch das Variationsprinzip:

$\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}Ldt=0$

Wobei $\delta$ die Variation mit Randbedingungen $\delta q_i=0$ an Anfangszeitpunkt $t_1$ und Endzeitpunkt $t_2$. Dies führt auf die bekannte Euler-Lagrange Gleichung:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0$

Der verallgemeinerte Impuls $p_i$ ist:

$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

Nun ist die Hamiltonfunktion gegeben durch:

$H(q_i,p_i)=p_i\dot{q_i}-L$

(mit Einstein Summenkonvention)

Dies führt auf die bekannten Hamiltongleichungen:

$\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$

$\dot{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}$

Quantisierung

Als nächstes führen wir die Quantisierung des klassischen Systems durch. Um das System zu quantisieren betrachten wir $q_i(t)$ und $q_i(t)$ als Operatoren mit den Kommutatorrelationen:

$[q_i(t),p_j(t)]=i{\delta }_{ij}$

$[q_i(t),q_j(t)]=[p_i(t),p_j(t)]=0$

Wobei $[A,B]=AB-BA$ und für das Kronecker delta Symbol ${\delta }_{ij}$ gilt 1 wenn $i=j$ und 0 wenn $i\ne j$.

In der Quantenmechanik wird nun jede physikalische Observable ein hermitischer Operator. In Matrix Form mit den Eigenschaften:

$A_{ij}=(A^{†}{)}_{ij}=(A^{*}{)}_{ji}=(A_{ji}{)}^{*}$

Hier bedeutet ${†}^{}$ die hermitische Konjugation und ${*}^{}$ die komplexe Konjugation. Somit haben wir.

$q_i=q_i^{†}$

$p_i=p_i^{†}$

$L=L^{†}$

$H=H^{†}$

In der klassischen Mechanik ist die Zeitableitung von $q_i$ und $p_j$ gegeben durch die Hamilton Gleichungen, während in der Quantenmechanik die Zeitableitung eines Operators $\dot{O}$ gegeben ist durch die Heisenberg Gleichung:

$[H,O(t)]=-i\dot{O}(t)$

Ein interessantes Beispiel ist das in der klassischen Mechanik $q_i$ und $p_j$ kommutieren. Dies bedeutet das z.B. die beiden Hamilton Funktionen:

$H=p^1{q}^2+q^2{p}^1$

$H=2pqpqp$

Klassisch das gleiche System sind aber in der Quantenmechanik stellen sie zwei verschiedene Systeme dar, die aber klassisch das gleiche Limit haben können ($\hslash ->0$).

Beispiel der Quantisierung eines freien Teilchens das sich entlang eines Kreises bewegt mit Radius $r_0$ (m=1) mit Kondition $r_0^2=x^2+y^2$:

$L=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$

In Polarkoordinaten:

$L=\frac{1}{2}{r}_0^2{\dot{\theta }}^2$

Mit konjungiertem Impuls:

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}=p_{\theta }=r_0^2\dot{\theta }$

Klassische Hamilton Funktion:

$H(\theta ,p_{\theta })=\theta p_{\theta }-L=\frac{p_{\theta }^2}{2r_0^2}$

Poisson Klammer ist:

$[\theta ,p_{\theta }]=1$

Um das System zu quantisieren werden nun die klassischen Variablen durch Operatoren mit den geeigneten Kommutatorrelationen ersetzt. $[\hat{\theta },\widehat{p_{\theta }}]=i$ Mit Operatoren:

$\hat{\theta }\psi (\theta )=\theta \psi (\theta )$

$\widehat{p_{\theta }}\psi \theta =(-i\frac{\partial }{\partial \theta })\psi (\theta )$

Die quantenmechanische Hamilton Funktion:

$H(\hat{\theta },\widehat{p_{\theta }})=\frac{{\widehat{p_{\theta }}}^2}{2r_0^2}$

Harmonischer Oszillator

Beispiel der Quantisierung des harmonische Oszillators mit Einheitsfrequenz. (m=k=1)

$L=L(q,\dot{q})=\frac{1}{2}({\dot{q}}^2-q^2)$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\dot{q}$

Die klassische Hamilton Funktion ist daher:

$H(q,p)=\frac{1}{2}(p^2+q^2)$

Hamilton Gleichungen:

$\frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q}=p$

$-\frac{\partial H}{\partial q}=\dot{p}=-q$

Für Operatoren und die Heisenberg Gleichung:

($p$ und $q$ und $H$ sind nun Operatoren)

$[H,p]=-i\dot{p}=iq$

$[H,q]=-i\dot{q}=-ip$

Nun schauen wir uns die Eigenwerte des harmonischen Oszillators an und definieren dabei die bekannten Operatoren:

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(q+ip)$

(nach hermitischer Konjugation)

$a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(q-ip)$

Berechnen der Kommutatorrelationen führt auf:

$[a,a^{†}]=-i$

Umgeformt in $q$ und $p$:

$q=\frac{1}{\sqrt{2}}(a+a^{†})$

$p=\frac{1}{\sqrt{2}}(a-a^{†})$

Kommutatorrelation:

$[p,q]=-i$

Einfaches Multiplizieren der beiden Operatoren führt weiter auf:

$a^{†}a=\frac{1}{2}(q^2+p^2-i(pq-qp))=\frac{1}{2}(H-i[p,q])$

Vergleich mit oben ergibt:

$a^{†}a=H-\frac{1}{2}$

$H=a^{†}a+\frac{1}{2}$

Nun sein $N=a^{†}a$:

$H=N+\frac{1}{2}$

Der Operator $N$ ist stets positiv ! (Summe der quadrate ist immer positiv)

Ein Eigenvektor $|n>$ der Operators $H$ erfüllt nun:

$H|n>=(n+\frac{1}{2})|n>$

Wobei $n$ jede positive ganze Zahl annehmen kann, 0,1,2,3...n. Sei nun $|0>$ der Eigenvektor mit dem kleinsten Eigenwert:

$H|0>=\frac{1}{2}|0>$

Damit lassen sich die anderen Eigenvektoren schreiben als:

$|n>=\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^{†}{)}^n|0>$

Beweis.....blabla

Führt auf

$a^{†}|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$

$a|n>=\sqrt{n}|n-1>$

Der Operator $N=a^{†}a$ würd üblicher weiße als "number occupation" Operator bezeichnet und aufgrund ihrer Eigenschaften $a^{†}$ als Erschaffungsoperator und $a$ als Vernichtungsoperator.

Beispiele mit orthonormal Basen $|0>=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right),|1>=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right)...$ Matrixformen von $a$ und $a^{†}$

$a=\left(\begin{array}{cccc}0& \sqrt{1}& 0& ...\\ 0& 0& \sqrt{2}& ...\\ 0& 0& 0& ...\\ .& .& .& ...\\ .& .& .& ...\end{array}\right)$

$a^{†}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& ...\\ \sqrt{1}& 0& 0& ...\\ 0& \sqrt{2}& 0& ...\\ .& .& .& ...\\ .& .& .& ...\end{array}\right)$

$a|1>=\left(\begin{array}{cccc}0& \sqrt{1}& 0& ...\\ 0& 0& \sqrt{2}& ...\\ 0& 0& 0& ...\\ .& .& .& ...\\ .& .& .& ...\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right)=|0>$

$a^{†}|0>=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& ...\\ \sqrt{1}& 0& 0& ...\\ 0& \sqrt{2}& 0& ...\\ .& .& .& ...\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ .\\ .\end{array}\right)=|1>$

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Quantisierung des Spin-0 Feldes

Wir untersuchen nun den Vorgang der quantisierung für klassische Felder. Sei $\varphi (x)$ ein lokales Feld wobei $x=x_{\mu }=(\overrightarrow{r},it)$. Felder die ihre Eigenschaften unter Lorentz-transformation erhalten bleiben werden Spin-0 Feld genannt. Wir betrachtet nun ein Feld für das gilt $\varphi (x)=\varphi (\overrightarrow{r},t)={\varphi }^{†}(x)$. Sei nun die Lagrange Dichte des klassischen Klein-Gordon Feldes gegeben durch:

$𝔏=-\frac{1}{2}(\frac{\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}{)}^2-V(\varphi )$

Wobei

${\frac{\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}}^2=\frac{\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}\frac{\partial \varphi }{\partial x_{\mu }}=(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{)}^2-{\dot{\varphi }}^2$

Durch Integration erhält man die Lagrange Funktion:

$L=\underset{vol}{\overset{}{\int }}𝔏d^{3}r=\underset{vol}{\overset{}{\int }}𝔏(\varphi (\overrightarrow{r},t),\dot{\varphi }(\overrightarrow{r},t))d^{3}r$

Man bemerke nun den Unterschied zwischen:

$L=L(q_i(t),{\dot{q}}_i(t))$

und

$𝔏=𝔏(\varphi (\overrightarrow{r},t),\dot{\varphi }(\overrightarrow{r},t))$

Wobei $𝔏$ als Funktional angesehen wird, das eine Funktion einer anderen Funktion ist, nämlich von $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ und seiner Zeitableitung. Ein weiterer Unterschied ist bei $L$ der Index diskret ist. Während er bei $𝔏$ kontinuierlich durch $\overrightarrow{r}$ ist und eine unendliche Anzahl an Werten annehmen kann.

Nun definieren wir analog zur dirkreten Version der Lagrange Funktion den verallgemeinerten konjugierten Impuls:

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\pi ({\overrightarrow{r}}_i,t)$

Im Falle der Lagrange Dichte von oben

$𝔏=(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{)}^2-{\dot{\varphi }}^2-V(\varphi )$

$L=\frac{1}{2}\underset{vol}{\overset{}{\int }}{\dot{\varphi }}^2{d}^{3}r-\underset{vol}{\overset{}{\int }}(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2+V(\varphi )d^{3}r$

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\pi ({\overrightarrow{r}}_i,t)={\dot{\varphi }}_i$

Die Hamiltonfunktion:

$H=\frac{1}{2}\underset{}{\overset{}{\int }}{\pi }^2+(\mathrm{\nabla }\varphi {)}^2+V(\varphi )d^{3}r$

Regeln der Quantisierung (von oben):

$[p_i(t),q_j(t)])-i{\delta }_{ij}$

Nun analog für die Quantisierung unseres Skalarfeldes:

$[\pi (\overrightarrow{r},t),\varphi ({\overrightarrow{r}}^{\prime },t)]=-i{\delta }^3(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Eigenschaften der Dirac Deltafunktion:

${\delta }^3(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })=0$ wenn

$\overrightarrow{r}\mathrm{\neg }{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

$\underset{}{\overset{}{\int }}{\delta }^3(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })d^{3}r=1$ (Integral über den gesamten Raum)

Ähnlich wie bei

$[q_i(t),q_j(t)]=0$

$[p_i(t),p_j(t)]=0$

Gilt auch:

$[\varphi (\overrightarrow{r},t),\varphi ({\overrightarrow{r}}^{\prime },t)=0$

$[\pi (\overrightarrow{r},t),\pi ({\overrightarrow{r}}^{\prime },t)=0$

Die Zeitableitung ist nun ganz normal gegeben durch die Heisenberg Gleichung, durch setzen von $O(t)=\varphi ({\overrightarrow{r}}^{\prime },t)$ Erhält man:

$[H,\varphi (\overrightarrow{r},t)]=-i\dot{\varphi }(\overrightarrow{r},t)$

$\pi (\overrightarrow{r},t)=\dot{\varphi }(\overrightarrow{r},t)$

Auf gleiche Weise erhält man:

$[H,\pi (\overrightarrow{r},t)]=-i\dot{\pi }(\overrightarrow{r},t)$

...... ......

Die klassische Bewegungsgleichung der Klein-Gordon Gleichung ist nun:

$\ddot{\varphi }-{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{dV}{d\varphi }=0$

(Gleichung erhält man auch durch das Variationsprinzip)

$\delta \underset{}{\overset{}{\int }}Ldt=\delta \underset{}{\overset{}{\int }}𝔏d^{4}x=0$

Fourier Zerlegung

Zur Lösung der Klein-Gordon Gleichung benutzen wir die Fouriertransformation der Felder $\varphi =\varphi (\overrightarrow{r},t)$ (Lösung der Klein-Gordon Gleichung von oben) und $\pi (\overrightarrow{r},t)$ :

$\varphi (\overrightarrow{r},t)=\sum _{\overrightarrow{k}}^{}\frac{1}{\sqrt{\omega }}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}{q}_{\overrightarrow{k}}(t)$

$\pi (\overrightarrow{r},t)=\sum _{\overrightarrow{k}}^{}\frac{1}{\sqrt{\omega }}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}{p}_{-\overrightarrow{k}}(t)$

Wobei $q_{\overrightarrow{k}}(t)$ und $p_{\overrightarrow{k}}(t)$ zeitabhängige Operatoren im Hilbertraum und die Komponenten von $\overrightarrow{k}$ (quantisiertem Impuls) gegen sind durch:

$k_i=\frac{2\pi l_i}{L_i},i=1,2,3$

Mit $l_i=0,+-1,+-2,...$

Nun interpretieren wir die Felder $\varphi (\overrightarrow{r},t)$ und $\pi (\overrightarrow{r},t)$ als hermitische Operatoren und definieren:

$q_{\overrightarrow{k}}(t)=q_{-\overrightarrow{k}}^{†}(t)$

$p_{\overrightarrow{k}}(t)=p_{-\overrightarrow{k}}^{†}(t)$

Weiter definieren wir neue Erschaffungs und Vernichtungs-Operatoren:

$a_{\overrightarrow{k}}(t)=\sqrt{\frac{\omega }{2}}(q_{\overrightarrow{k}}+\frac{i}{\omega }{p}_{-\overrightarrow{k}})$

hermitisch Konjugiert:

$a_{\overrightarrow{k}}^{†}(t)=\sqrt{\frac{\omega }{2}}(q_{-\overrightarrow{k}}-\frac{i}{\omega }{p}_{\overrightarrow{k}})$

Indem man das Vorzeichen von $\overrightarrow{k}$ ändert erhält man nun:

$a_{\overrightarrow{-k}}^{†}(t)=\sqrt{\frac{\omega }{2}}(q_{\overrightarrow{k}}-\frac{i}{\omega }{p}_{-\overrightarrow{k}})$

Analog vom Vorgehen weiter oben kann man nun $q_{\overrightarrow{k}}$ und $p_{-\overrightarrow{k}}$ durch $a_{\overrightarrow{k}}$ und $a_{-\overrightarrow{k}}^{†}$ ausdrücken:

$q_{\overrightarrow{k}}(t)=\frac{1}{\sqrt{2\omega }}[a_{\overrightarrow{k}}(t)+a_{-\overrightarrow{k}}^{†}(t)]$

$p_{-\overrightarrow{k}}(t)=\frac{-i\omega }{\sqrt{2\omega }}[a_{\overrightarrow{k}}(t)-a_{-\overrightarrow{k}}^{†}(t)]$

Nun lassen sich die Felder $\varphi$ und $\pi$ durch die Erschaffungs und Vernichtungsoperatoren ausdrücken:

$\varphi (\overrightarrow{r},t)=\sum _{}^{}\frac{1}{\sqrt{2\omega \mathrm{\Omega }}}[a_{\overrightarrow{k}}(t)e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}+a_{\overrightarrow{k}}^{†}(t)e^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}]$

und

$\pi (\overrightarrow{r},t)=\sum _{}^{}\frac{-i\omega }{\sqrt{2\omega \mathrm{\Omega }}}[a_{\overrightarrow{k}}(t)e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}-a_{\overrightarrow{k}}^{†}(t)e^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}]$

Nun kann man damit die Kommutatoreigenschaften der Operatoren überprüfen.

Der neue Hamiltonian für den harmonischen Oszillator für Felder mit den Operatoren $a_{\overrightarrow{k}}$ und $a_{\overrightarrow{k}}^{†}$ lässt sich nun schreiben als:

$H=\frac{1}{2}\omega \sum _{\overrightarrow{k}}^{}(a_{\overrightarrow{k}}{a}_{\overrightarrow{k}}^{†}+a_{\overrightarrow{k}}^{†}{a}_{\overrightarrow{k}})=\sum _{\overrightarrow{k}}^{}\omega (a_{\overrightarrow{k}}{a}_{\overrightarrow{k}}^{†}+\frac{1}{2})$

Quantisierung des Spin-1/2 Feldes

Als erstes definieren wir drei $2\times 2$ Paulimatrizen:

${\tau }_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\tau }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\tau }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Nun definieren wir noch analog zum Kommutator:

$[a,b]=ab-ba$

den Antikommutator:

$\{a,b\}=ab+ba$

Die Paulimatrizen erfüllen nun folgende Eigenschaften:

${\tau }_i={\tau }_i^{†}$

$[{\tau }_i,{\tau }_j]={\tau }_i{\tau }_j-{\tau }_j{\tau }_i=2i{ϵ}_{ijk}{\tau }_k$

Antikommutator Eigenschaft:

$\{{\tau }_i,{\tau }_j\}={\tau }_i{\tau }_j+{\tau }_j{\tau }_i=2{\delta }_{ij}$

Wobei ${ϵ}_{ijk}$ ist 1 bei einer geraden Permutation von 1,2,3 und -1 bei einer ungeraden permutation. 0 für alles andere.

Geschrieben in Vektornotation:

$\overrightarrow{\tau }=({\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3)$

Als nächstes definieren wir ein "direktes Produkt" zwischen einer $n\times n$ und einer $m\times m$ Matrix, wobei die resultieren Matrix die Dimension $nm\times nm$ ist.

$A\otimes B$

Nun kann man durch das direkte Produkt die $4\times 4$ Dirac Matrizen durch die $2\times 2$ Pauli Matrixen und eine Einheitsmatrix darstellen:

$\overrightarrow{\sigma }=\overrightarrow{\tau }\otimes I$

$\overrightarrow{\rho }=I\otimes \overrightarrow{\tau }$

Daraus folgt, jedes Element ist eine $2\times 2$ Matrix (0 sind Null Matrixen):

$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{\tau }& 0\\ 0& \overrightarrow{\tau }\end{array}\right)$

und $\overrightarrow{\rho }=({\rho }_1,{\rho }_2,{\rho }_3)$ ist gegeben durch:

${\rho }_1=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ 0& I\end{array}\right)$

${\rho }_2=\left(\begin{array}{cc}0& -iI\\ iI& 0\end{array}\right)$

${\rho }_3=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ 0& I\end{array}\right)$