Einführung in die Funktionentheorie/ Konforme Abbildung

Konforme Abbildung durch analytische Funktionen

Gegeben sei eine analytische Funktion w = f(z) der komplexen Variablen z = x + i y:

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$

wobei wie immer u und v Funktionen der reellen Variablen x und y sind.

Nun durchlaufe z in der Ebene eine Kurve K, die durch die Gleichung y = g(x) beschrieben sei (z. B. y = x²). Dann durchläuft die abhängige Variable w in ihrer Ebene eine Kurve K ', die beschrieben werden kann durch die Gleichung

$w_{K^{\prime }}=u\left[x,g(x)\right]+iv\left[x,g(x)\right].$

Die Kurve K ' wird als das Bild oder als die Abbildung der Kurve K bezeichnet.

Die Steigung der Kurventangente in irgendeinem Punkt P mit z_P = ζ der Kurve y =g(x) ist dann

$\tan \tau =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)}_{\zeta }=g^{\prime }(\zeta ).$

Dabei bedeutet der Index ζ, dass der Grenzwert an der Stelle z = ζ zu bilden ist.

Die Steigung der Bildkurve K ' im Bildpunkt P ' von P (unter der Voraussetzung, dass der auftretende Grenzwert existiert) ist

$\tan \omega =\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{\lim }{\left(\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }u}\right)}_{\zeta }={\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}\right)}_{\zeta }.$

Nun ist

$\mathrm{d}v=\frac{\partial v}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{d}y=v_x\mathrm{d}x+v_y\mathrm{d}y,$

und

$\mathrm{d}u=\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}y=u_x\mathrm{d}x+u_y\mathrm{d}y,$

also ist

$\begin{array}{ccc}\tan \omega & =& {\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}\right)}_{\zeta }=\frac{{\left(v_x\right)}_{\zeta }\mathrm{d}x+{\left(v_y\right)}_{\zeta }\mathrm{d}y}{{\left(u_x\right)}_{\zeta }\mathrm{d}x+{\left(u_y\right)}_{\zeta }\mathrm{d}y}=\frac{{\left(v_x\right)}_{\zeta }+{\left(v_y\right)}_{\zeta }{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}_{\zeta }}{{\left(u_x\right)}_{\zeta }+{\left(u_y\right)}_{\zeta }{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}_{\zeta }}\\ & =& \frac{{\left(v_x\right)}_{\zeta }+{\left(v_y\right)}_{\zeta }{g}^{\prime }(\zeta )}{{\left(u_x\right)}_{\zeta }+{\left(u_y\right)}_{\zeta }{g}^{\prime }(\zeta )},\end{array}$

und wegen der Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\tan \omega =\frac{-{\left(u_y\right)}_{\zeta }+{\left(u_x\right)}_{\zeta }{g}^{\prime }\left(\zeta \right)}{{\left(u_x\right)}_{\zeta }+{\left(u_y\right)}_{\zeta }{g}^{\prime }\left(\zeta \right)}=\frac{-{\left(\frac{u_y}{u_x}\right)}_{\zeta }+\tan \tau }{1+{\left(\frac{u_y}{u_x}\right)}_{\zeta }\tan \tau }.$

Zunächst ist festzustellen, dass der Grenzwert im Allgemeinen existiert und daher die Steigung der Tangente der Bildkurve einen definierten Wert besitzt. (Das Nullwerden des Nenners weist auf eine vertikale Tangente hin.)

Nun kann - da der Tangens jeden beliebigen Wert annehmen kann - jederzeit ein Winkel α so bestimmt werden, dass

$\tan \alpha ={\left(\frac{u_y}{u_x}\right)}_{\zeta },$

ist, wobei

$-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$

ist. Man kann dann schreiben

$\tan \omega =\frac{-\tan \alpha +\tan \tau }{1+\tan \alpha \tan \tau }=\tan \left(\tau -\alpha \right).$

Folglich ist

$\omega =\{\begin{array}{c}\tau -\alpha ,\text{wenn}-\frac{\pi }{2}<\tau -\alpha <-\frac{\pi }{2}\\ \tau -\alpha +\pi ,\text{wenn}\tau -\alpha <-\frac{\pi }{2}\\ \tau -\alpha -\pi ,\text{wenn}\tau -\alpha <\frac{\pi }{2}\end{array}$

Wir betrachten nun eine weitere durch den Punkt P gehende Kurve, deren Steigung in P gleich

$\tan {\tau }_1$

sei. Die Steigung ihrer Bildkurve im entsprechenden Bildpunkt ist dann

$\tan {\omega }_1=\tan \left({\tau }_1-\alpha \right)$

und folglich

${\omega }_1={\tau }_1-\alpha ,$

wobei α den gleichen Wert wie oben haben soll.

Die beiden Tangenten der Bildebene bilden dann miteinander den Winkel

$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_1-\omega =\left({\tau }_1-\alpha \right)-\left(\tau -\alpha \right)={\tau }_1-\tau =\mathrm{\Delta }\tau .$

Das heißt, die Tangenten bilden in beiden Ebenen den gleichen Winkel miteinander.

Eine Abbildung mit dieser Eigenschaft heißt winkeltreu. Die betrachtete reguläre Funktion w = f(z) erzeugt also eine winkeltreue Abbildung von Teilen der Z-Ebene in die W-Ebene.

Betrachten wir nun ein Dreieck PQR in der Ursprungsebene und seine Abbildung P'Q'R' . Die Abbildungen der Dreiecksseiten sind im Allgemeinen nicht geradlinige, sondern gekrümmte Kurvenstücke. Die Winkel zwischen den Tangenten dieser Kurven in den drei Eckpunkten stimmen jedoch mit den entsprechenden Dreieckswinkeln in der Z-Ebene überein.

Je kleiner man das ursprüngliche Dreieck macht, desto mehr nähert sich seine Abbildung einem Dreieck mit geraden Seiten an. Wegen der Gleichheit der Winkel sind diese beiden Dreiecke ähnlich und stimmen daher auch in den Seitenverhältnissen überein. Die winkeltreue Abbildung ist daher "im Kleinen" auch maßstabstreu. Eine solche Abbildung heißt konforme Abbildung.

Die reguläre Funktion erzeugt also eine konforme Abbildung.

Für eine hinreichend kleine Strecke Δz und ihre Abbildung Δw gilt wegen

$\mathrm{\Delta }w\approx \mathrm{d}w=f^{\prime }(\zeta )\mathrm{d}z\equiv f^{\prime }(\zeta )\mathrm{\Delta }z$

Also ist der

$\text{Abbildungsmassstab }\frac{\left|\mathrm{\Delta }w\right|}{\left|\mathrm{\Delta }z\right|}\approx \left|f^{\prime }(\zeta )\right|.$