Einführung in die Funktionentheorie/ Differentialrechnung von Funktionen einer komplexen Variablen

Differenzierbarkeit einer Funktion einer komplexen Variablen

Eine Funktion $f$ einer komplexen Variablen sei in einem Gebiet $G$ der Zahlenebene definiert, und es sei $z_0$ eine Stelle im Inneren dieses Gebietes.

Wenn der Differenzenquotient

$\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}z\to z_0$

oder – was dasselbe ist – der Differenzenquotient

$\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{\Delta }z\to 0$

konvergiert, dann heißt die Funktion $f$ an der Stelle $z_0$ differenzierbar. Der Grenzwert heißt (Wert der) Ableitung oder Differentialquotient der Funktion $f$ an der Stelle $z_0$. Gebräuchlich sind dafür folgende Bezeichnungen

$f^{\prime }(z_0)\text{und}{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f\right)}_{z_0}.$

Beispiel einer Funktion, bei der dies nicht der Fall ist:

$f(z):={\left|z\right|}^2=x^2+y^2,z=x+iy.$

$f\left(z+\mathrm{\Delta }z\right)={\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)}^2+{\left(y+\mathrm{\Delta }y\right)}^2,\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y.$

$\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{2x\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+2y\mathrm{\Delta }y+{\left(\mathrm{\Delta }y\right)}^2}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{2x\mathrm{\Delta }x+{\left(\mathrm{\Delta }x\right)}^2+2y\mathrm{\Delta }y+{\left(\mathrm{\Delta }y\right)}^2}{\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y}.$

Für $\mathrm{\Delta }x=0$ (längs der Vertikalen) ist

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{2y}{i},$

für $\mathrm{\Delta }y=0$ (längs der Horizontalen) ist

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=2x,$

für $\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }x$ (längs der unter 45° geneigten Geraden) ist

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{2x+2y}{1+i}.$

Es gilt $\frac{2y}{i}=2x=\frac{2x+2y}{1+i}$ für (reelle) $x,y$ dann und nur dann, wenn $x=y=0$. Also kann der Grenzwert $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}$ für $z\ne 0$ nicht existieren, d. h., $f$ ist in keinem Punkt $z\in ℂ\setminus \{0\}$ differenzierbar. Für den Nullpunkt gilt die Betrachtung

$\frac{f(\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{|\mathrm{\Delta }z{|}^2}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{(\mathrm{\Delta }z)(\overline{\mathrm{\Delta }z})}{\mathrm{\Delta }z}=\overline{\mathrm{\Delta }z}\to 0\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{\Delta }z\to 0.$

Also ist $f$ im Nullpunkt differenzierbar mit $f^{\prime }(0)=0$.

Ist die Funktion $f$ in einem Gebiet definiert und an jeder Stelle des Gebietes differenzierbar (kurz: „in diesem Gebiet differenzierbar“), dann ist auch die Ableitung der Funktion eine in diesem Gebiet definierte Funktion. Sie wird bezeichnet mit

$f^{\prime }(z),\frac{\mathrm{d}f(z)}{\mathrm{d}z},\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}\text{oder}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f(z).$

Jede in einem Punkt $z_0$ differenzierbare Funktion ist dort auch stetig, aber nicht jede dort stetige Funktion ist auch differenzierbar (siehe unten).

 

Die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann

Es soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen eine Funktion einer komplexen Variablen differenzierbar ist.

Die Funktion w(z) = f(z) sei in einem Gebiet G definiert und in einem Punkt z₀ im Innern dieses Gebietes differenzierbar.

Es sei

$z=x+iy\text{und}{z}_0=x_0+i{y}_0.$

Wenn wir die Funktion f(z) wie oben (siehe 2. Teil) in ihren reellen und ihren imaginären Teil zerlegen, so erhalten wir

$f(x+iy)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y),$

wobei u und v reelle Funktionen von z und somit auch von x und y sind.

Beispiel:

$w=z^2={\left(x+iy\right)}^2=\underset{u}{\underbrace{x^2-y^2}}+i\underset{v}{\underbrace{2xy}}.$

 

Wenn die Funktion f(z) an der Stelle z₀ differenzierbar ist, so heißt das, dass der Differenzenquotient

$\frac{f\left(z_0+\mathrm{\Delta }z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}$

für Δz gegen 0 einem Grenzwert G zustrebt. Gemäß der Definition der Konvergenz bedeutet dies, dass es für jede (noch so kleine) positive reelle Zahl δ eine reelle Zahl ε gibt, sodass

$\left|\frac{f\left(z_0+\mathrm{\Delta }z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}-G\right|<\delta$

wird, wenn

$\left|\mathrm{\Delta }z\right|<\epsilon$

ist.

Wir bezeichnen die von Δz abhängige, gegen 0 strebende (komplexe) Differenz zwischen dem Differenzenquotienten und G mit Δ:

$\frac{f\left(z_0+\mathrm{\Delta }z\right)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}-G=\mathrm{\Delta }(1)$

und stellen auch Δ und G als komplexe Zahlen dar:

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_1+i{\mathrm{\Delta }}_2\left({\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2\text{reell}\right),$

$G=G_1+i{G}_2\left(G_1,G_2\text{reell}\right).$

Setzen wir ferner

$f(z_0)=u_0+i{v}_0\text{und}f\left(z_0+\mathrm{\Delta }z\right)=\left(u_0+\mathrm{\Delta }u\right)+i\left(v_0+\mathrm{\Delta }v\right),$

,

so wird aus Gleichung (1):

$\frac{\left[u_0+\mathrm{\Delta }u+i\left(v_0+\mathrm{\Delta }v\right)\right]-(u_0+i{v}_0)}{\mathrm{\Delta }z}-\left(G_1+i{G}_2\right)={\mathrm{\Delta }}_1+i{\mathrm{\Delta }}_2.$

Wir multiplizieren nun diese Gleichung mit Δz = Δx + i Δy und trennen dann Realteil und Imaginärteil:

$\left[u_0+\mathrm{\Delta }u+i\left(v_0+\mathrm{\Delta }v\right)\right]-(u_0+i{v}_0)=\left(\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y\right)\left[\left(G_1+i{G}_2\right)+{\mathrm{\Delta }}_1+i{\mathrm{\Delta }}_2\right],$

Realteil:

$\mathrm{\Delta }u=\mathrm{\Delta }x{G}_1-\mathrm{\Delta }y{G}_2+\mathrm{\Delta }x{\mathrm{\Delta }}_1-\mathrm{\Delta }y{\mathrm{\Delta }}_2(2)$

Imaginärteil:

$\mathrm{\Delta }v=\mathrm{\Delta }x{G}_2+\mathrm{\Delta }y{G}_1+\mathrm{\Delta }x{\mathrm{\Delta }}_2+\mathrm{\Delta }y{\mathrm{\Delta }}_1(3)$

Setzt man in (2) Δy = 0, lässt also nur Veränderungen in x-Richtung zu, und teilt dann durch Δx, so erhält man den partiellen Differenzenquotienten (nach x)

${\left(\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\right)}_{y=konst.}=G_1+{\mathrm{\Delta }}_1.$

Für Δx gegen 0 geht auch Δ₁ gegen 0, und man erhält die partielle Ableitung nach x

$\frac{\partial u}{\partial x}\equiv u_x=G_1.$

Setzt man dagegen in (2) Δx = 0, so erhält man analog die partielle Ableitung nach y

$\frac{\partial u}{\partial y}\equiv u_y=-G_2.$

Entsprechend findet man aus (3)

$\frac{\partial v}{\partial x}\equiv v_x=G_2,\frac{\partial v}{\partial y}\equiv v_y=G_1.$

Durch Vergleich der entsprechenden Gleichungen ergeben sich die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann

$u_x=v_y,u_y=-v_x.$

 

Aus (1) folgt für Δz gegen 0:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}\equiv f^{\prime }(z)=G\equiv G_1+i{G}_2$

und weiter

$f^{\prime }(z)=u_x+i{v}_x=\frac{1}{i}\left(u_y+i{v}_y\right).$

Die Ableitung f '(z) kann also auf zwei verschiedene Weisen berechnet werden, die nicht notwendig zum selben Wert führen müssen, da die Funktionen u und v voneinander unabhängig sind.

Hieraus folgt: Sind u(x, y) und v(x, y) zwei beliebige , im Gebiet G definierte Funktionen der reellen Veränderlichen x und y, so ist die Funktion

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

der komplexen Veränderlichen z = x + i y im Allgemeinen nicht differenzierbar, auch wenn die Funktionen u(x, y) und v(x, y) überall in G nach x und y differenzierbar ("vollständig differenzierbar") sind. Für die Differenzierbarkeit von f(z) ist nämlich erforderlich, dass die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann erfüllt sind. Außerdem unterliegen die Funktionen u und v noch weiteren Beschränkungen, auf die gleich eingegangen wird.

Der reelle und der imaginäre Teil einer Funktion können also nicht unabhängig voneinander gewählt werden, wenn die Funktion differenzierbar sein soll. Aber auch jeder dieser Teile für sich ist noch besonderen Beschränkungen unterworfen. Darüber mehr im nächsten Kapitel.

 

Die Laplacesche Differentialgleichung

Wenn eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen in einem Gebiet G einmal differenzierbar ist, so ist sie – anders als bei Funktionen reeller Veränderlicher – dort auch ein zweites Mal differenzierbar. (Hier zunächst ohne Beweis aufgeführt.) Aus der Existenz von f '(z) in einem Gebiet folgt also die Existenz von f "(z) in diesem Gebiet, daraus wieder die Existenz von f "'(z) usw. Also gilt:

Jede in einem Gebiet einmal differenzierbare Funktion einer komplexen Veränderlichen ist dort beliebig oft differenzierbar.

Wir betrachten nun wieder eine Funktion

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

und nehmen an, dass in einem Gebiet G sowohl die partiellen Ableitungen erster Ordnung als auch alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung der Funktionen u(x, y) und v(x, y) existieren (was durchaus nicht selbstverständlich ist, da es sich ja hier um Funktionen reeller Veränderlicher handelt.). Dann erhält man aus den in G geltenden Gleichungen

$u_x=v_y$

durch nochmaliges partielles Differenzieren nach x die Gleichungen

$u_{xx}=v_{yx}\text{und}{u}_{yy}=-v_{xy}.$

Da nach dem Satz von SCHWARZ

$v_{yx}=v_{xy}$

ist, gilt

$u_{xx}+u_{yy}=0.$

Durch partielles Differenzieren der Ausgangsgleichung nach y findet man analog

$v_{xx}+v_{yy}=0.$

Es gilt daher der Satz:

Eine reelle Funktion u(x, y) kann nur dann der reelle oder der imaginäre Teil einer in einem Gebiet G differenzierbaren Funktion f(z) = f(x +i y) sein, wenn u in G alle partiellen Ableitungen erster und höherer Ordnung besitzt und wenn dort überall

$u_{xx}+u_{yy}\equiv \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

ist. Für die Summe der zweiten partiellen Ableitung schreibt man auch kurz Δu, wobei Δ der Laplacesche Operator ist. Die Gleichung

$\mathrm{\Delta }u\equiv \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

heißt die Laplacesche Differentialgleichung.

 

Differentiationsregeln

Potenzfunktionen

Bei der Potenzfunktion einer komplexen Variablen

$f(z)=z^n=(x+iy{)}^n,$

wobei n eine positive ganze Zahl sein soll, ist

$f(z+\mathrm{\Delta }z)=(z+\mathrm{\Delta }z{)}^n=z^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})z^{n-1}\cdot \mathrm{\Delta }z+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})z^{n-2}\cdot (\mathrm{\Delta }z{)}^2+\cdots +(\mathrm{\Delta }z{)}^n$

und daher

$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})z^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})z^{n-2}\cdot \mathrm{\Delta }z+\cdots +(\mathrm{\Delta }z{)}^{n-1},$

und

$f^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{\lim }=n{z}^{n-1}.$

Offensichtlich kann der Grenzwert berechnet werden, ohne dass irgendwelche Annahmen über den Weg des Grenzgangs gemacht werden müssen. Das bedeutet, dass der Grenzwert vom Weg unabhängig ist. Folglich ist die Funktion in der ganzen Z-Ebene differenzierbar.

Es fällt auf, dass bei der Berechnung der Ableitung nirgends berücksichtigt werden muss, dass z eine komplexe Variable ist. Das bedeutet, dass auch die folgenden Differentiationsregeln einfach von den Funktionen reeller Variabler übernommen werden können. Insbesondere können Summen von Potenzfunktionen gliedweise differenziert werden. Dies gilt im Inneren ihres Konvergenzkreises auch für Potenzreihen.

Potenzreihen

Hat die Potenzreihe

$a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n,$

einen positiven Konvergenzradius, so stellt sie im Inneren ihres Konvergenzbereichs eine Funktion f(z) dar. Diese Funktion hat dort Ableitungen jeder Ordnung, die durch gliedweise Differentiation berechnet werden. Also ist

$f^{\prime }(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n{z}^{n-1},$

$f^{″}(z)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}n\left(n-1\right)a_n{z}^{n-2},$

und

$f^{\left(k\right)}(z)=\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}n\left(n-1\right)\cdot \cdots \cdot \left(n-k+1\right)a_n{z}^{n-k}.$

Da

$n\left(n-1\right)\cdot \cdots \cdot \left(n-k+1\right)=k!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

ist, kann man dafür auch schreiben

$f^{(k)}(z)=k!\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_n{z}^{n-k}.$

Ersetzt man hierin n - k durch n und dementsprechend n durch n + k, so ergibt sich die zum Rechnen bequemere Formel:

$f^{(k)}(z)=k!\sum _{n=o}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n}{k})a_{k+n}{z}^n.$

Hat eine Potenzreihe den Mittelpunkt z₀ (statt wie oben den Mittelpunkt 0):

$f(z)=a_0+a_1\left(z-z_0\right)+\cdots +a_n{\left(z-z_0\right)}^n+\cdots ,$

so kann sie durch die Koordinatentransformation ζ = z – z₀ auf die oben angegebene Form gebracht werden. Durch Rücktransformation ergibt sich für die k-te Ableitung dann

$f^{(k)}(z)=k!\sum _{n=o}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n}{k})a_{k+n}(z-z_0{)}^n.$

Potenzfunktionen und die durch Potenzreihen dargestellten Funktionen sind also (im Inneren ihres Konvergenzbereichs) reguläre (oder analytische) Funktionen.

Exponentialfunktion, trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Die Funktionen exp z, sin z, cos z, sinh z und cosh z sind auch im Komplexen durch beständig konvergente Potenzreihen dargestellt. Sie sind daher in der ganzen Z-Ebene regulär (oder analytisch). Durch gliedweise Differentiation der Potenzreihen findet man

$\frac{\mathrm{d}{e}^z}{\mathrm{d}z}=e^z,\frac{\mathrm{d}\sin z}{\mathrm{d}z}=\cos z,\frac{\mathrm{d}\cos z}{\mathrm{d}z}=-\sin z,$

$\frac{\mathrm{d}\sinh z}{\mathrm{d}z}=\cosh z,\frac{\mathrm{d}\cosh z}{\mathrm{d}z}=\sinh z.$

Weitere wichtige Ableitungen gewinnt man über die Umkehrfunktionen.

Umkehrfunktionen und die Ableitungen weiterer Funktionen

In einem Gebiet G sei eine reguläre (und somit differenzierbare und stetige) Funktion w = f(z) definiert, und jeder zum Definitionsbereich der Funktion gehörige Funktionswert trete nur einmal auf.

Dann gibt es zu jedem auftretenden Funktionswert w genau eine Zahl z derart, dass w = f(z) ist. Somit kann die Variable z als eine Funktion der Variablen w aufgefasst werden, wobei dann w die unabhängige und z die abhängige Variable ist. Auch die Begriffe "Definitionsbereich" und Wertebereich vertauschen dann ihre Rollen.

Die so definierte Funktion z = g(w) heißt die Umkehrfunktion oder inverse Funktion zu w = f(z).

Der Differenzenquotient der inversen Funktion ist

$\frac{\mathrm{\Delta }z}{\mathrm{\Delta }w}=\frac{1}{\frac{\mathrm{\Delta }w}{\mathrm{\Delta }z}}$

ihr Differentialquotient ist

$\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}w}=g^{\prime }(z)=\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{\mathrm{\Delta }w}{\mathrm{\Delta }z}}=\frac{1}{\underset{\mathrm{\Delta }w\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }w}{\mathrm{\Delta }z}}=\frac{1}{f^{\prime }(z)}\left(f^{\prime }(z)\ne 0\right).$

Die Umkehrfunktion g(z) ist also in ihrem Definitionsbereich und für f' (z) ungleich 0 ebenfalls differenzierbar.

Unter Benutzung der Umkehrfunktion können nun weitere Funktionen differenziert werden.

Beispiel: Die Funktion

$w=e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}$

ist für

$-\pi <y\le \pi$

in der ganzen Ebene umkehrbar eindeutig. Ihre Umkehrfunktion ist

$z={\ln }^{*}w,$

das ist der Hauptwert des natürlichen Logarithmus. Wegen

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}w}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}}=\frac{1}{e^z}=\frac{1}{w}$

ist

$\frac{\mathrm{d}({\ln }^{*}w)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{w}$

Durch Vertauschung der Variablen ergibt sich die übliche Schreibweise

$\frac{\mathrm{d}({\ln }^{*}z)}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{z}.$