Digitale Schaltungstechnik/ Zahlensysteme

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Unär

Unärdarstellungen von Zahlen werden insbesondere beim Decoder verwendet. Solche Zahlen sind Ziffernfolgen von 0 und 1, wobei es genau eine Eins in der Folge gibt.

Dezimal	Unär
0	00001
1	00010
2	00100
3	01000
4	10000

Allgemein kann eine N-stellige Zahl die Ziffern 0...N-1 darstellen.

Ein Decoder wandelt diese Zahlendarstellung in eine Binärzahl um.

Binär

Binärdarstellungen von Zahlen enthalten ebenfalls die Ziffern 0 und 1. Sie sind N-stellige Ziffernfolgen der Form $\{0,1{\}}^N$, wobei eine solche Ziffernfolge $2^N$ verschiedene Werte annehmen kann.

Dezimal	Binär
0	00000
1	00001
2	00010
3	00011
4	00100
5	00101
6	00110
7	00111
8	01000

Positive Dualzahlen

Geht aus dem Zusammenhang klar hervor, dass es sich um positive Zahlen handelt, kann man den Wert einer Zahl, deren Ziffernfolge $<z_n,z_{n-1},...,z_1,z_0>$ ist berechnen durch:

$Z=\sum _{i=0}^n{z}_i*2^i$

Negative Dualzahlen

Betrag-Vorzeichen

Negative Betrag-Vorzeichen-Zahlen haben den Nachteil, dass sie doppelte Darstellungen für die Null haben. Ansonsten ist das erste Bit bei negativen Zahlen immer Eins.

Dezimal	Binär
2	00010
1	00001
0	00000
-0	10000
-1	10001
-2	10010
-3	10011
-4	10100

Einerkomplement

Negative Zahlen im Einerkomplement haben auch eine "doppelte Null", das erste Bit ist immer "1". Das Einerkomplement einer negativen Zahl erhält man, in dem man alle Bits vom Betrag der Zahl umkehrt. Beispiel: 2₁₀ = 00010₂ und -2₁₀=11101₂.

Das Einerkomplement wird heute nur noch selten verwendet, moderne Computerhardware nutzt das Zweierkomplement.

Dezimal	Binär
2	00010
1	00001
0	00000
-0	11111
-1	11110
-2	11101
-3	11100
-4	11011

Zweierkomplement

Beim Zweierkomplement einer N-Bit-Zahl (z_n-1,z_n-2,...,z₀) ist ebenfalls die höherwertigste Stelle z_n-1zu Eins gesetzt. Allerdings ist der Wert dieser Zahl

$Z=-2^{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}{z}_i*2^i$

Beispielsweise ist die Zahl 1010₂ = -2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = -8 + 2 = -6

Umgekehrt, sucht man eine N-stellige Zahl K im Zweierkomplement, berechnet man -2^n-1 + x = K. x stellt man für die übrigen Ziffern als positive Zahl dar.

Beispiel 1

Gesucht ist das 5-stellige Zweierkomplement von -9. Es gilt:

$-2^4+x=-9$

also

$-16+x=-9$ und daraus folgt sofort, dass x = 7 ist.

7₁₀ = 0111₂

Es ist also -9₁₀ = 10111₂

Beispiel 2

Gesucht ist das 8-stellige Zweierkomplement der Zahl -9. Es gilt

$-2^7+x=-9$

also

$-128+x=-9$ und daraus folgt sofort, dass x = 119 ist.

119₁₀ = 1110111₂

Es ist also -9₁₀ = 11110111₂

Zusammenfassung Beispiele

-9 als 5-Bit Zahl ist 1.0111. Als 8-Bit Zahl aber 1111.0111 (Punkt zum Veranschaulichen geschrieben). Allgemein kann man sagen, wenn man eine negative Zahl verlängert, dann verlängert man den linken Bereich, wo die Einsen stehen.

Beliebige Basis

Ganze Zahlen mit einer beliebigen Basis b können die Ziffern 0, 1, 2, ..., b-1 haben und lassen sich so darstellen:

$Z=\sum _{i=0}^{n-1}{z}_i*b^i$

Fließkommazahlen

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