Digitale Schaltungstechnik/ Zähler/ Synchron/ Umwandlung/ D-JK/ Bsp. 2

Digitale Schaltungstechnik/ Navigation

Beispiel: beliebige Zählfolge

Aufgabe

2 12 8 3 6 7 0

Wahrheitstabelle

	Eingang				Ausgang
	$Q_n$				$Q_{n+1}$
dez	$Q_3$	$Q_2$	$Q_1$	$Q_0$	$Q_3$	$Q_2$	$Q_1$	$Q_0$
0	0	0	0	0	0	0	1	0
1	0	0	0	1	x	x	x	x
2	0	0	1	0	1	1	0	0
3	0	0	1	1	0	1	1	0
4	0	1	0	0	x	x	x	x
5	0	1	0	1	x	x	x	x
6	0	1	1	0	0	1	1	1
7	0	1	1	1	0	0	0	0
8	1	0	0	0	0	0	1	1
9	1	0	0	1	x	x	x	x
10	1	0	1	0	x	x	x	x
11	1	0	1	1	x	x	x	x
12	1	1	0	0	1	0	0	0
13	1	1	0	1	x	x	x	x
14	1	1	1	0	x	x	x	x
15	1	1	1	1	x	x	x	x

KV-Diagramme

$Q_{3n+1}$	$Q_3{Q}_2$	$Q_3\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}{Q}_2$
$Q_1{Q}_0$	15   X	11  X	3  0	7  0
$Q_1\overline{Q_0}$	14  X	10  X	2   1	6  0
$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	12  1	8  0	0   0	4  X
$\overline{Q_1}{Q}_0$	13  X	9  X	1  X	5   X

 $Q_{3n+1}=Q_3{Q}_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$ 

$Q_{2n+1}$	$Q_3{Q}_2$	$Q_3\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}{Q}_2$
$Q_1{Q}_0$	15   X	11  X	3  1	7  0
$Q_1\overline{Q_0}$	14  X	10  X	2   1	6  1
$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	12  0	8  0	0   0	4  X
$\overline{Q_1}{Q}_0$	13  X	9  X	1  X	5   X

 $Q_{2n+1}=Q_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_2}{Q}_1$ 

$Q_{1n+1}$	$Q_3{Q}_2$	$Q_3\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}{Q}_2$
$Q_1{Q}_0$	15   X	11  X	3  1	7  0
$Q_1\overline{Q_0}$	14  X	10  X	2   0	6  1
$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	12  0	8  1	0   1	4  X
$\overline{Q_1}{Q}_0$	13  X	9  X	1  X	5   X

 $Q_{1n+1}=\overline{Q_1}\overline{Q_2}\vee \overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

$Q_{0n+1}$	$Q_3{Q}_2$	$Q_3\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}\overline{Q_2}$	$\overline{Q_3}{Q}_2$
$Q_1{Q}_0$	15   X	11  X	3  0	7  0
$Q_1\overline{Q_0}$	14  X	10  X	2   0	6  1
$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	12  0	8  1	0   0	4  X
$\overline{Q_1}{Q}_0$	13  X	9  X	1  X	5   X

 $Q_{0n+1}=Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

Gleichung 3

$Q_{3n+1}=Q_3{Q}_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$ 

$Q_{3n+1}=J\overline{Q_{3n}}\vee \bar{K}{Q}_{3n}$

Der Ausdruck $\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$ lässt sich nicht direkt zuordnen. Um es dennoch zuzuordnen verwenden wir einen Trick:

$Q_3\vee \overline{Q_3}=1$

$1\wedge \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$

$1\wedge (\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})$

$(Q_3\vee \overline{Q_3})(\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})$

$Q_3\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_3}\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$

$Q_{3n+1}=Q_3{Q}_2\vee Q_3\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_3}\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$	$Q_3$ ausklammern
$Q_{3n+1}=Q_3(Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})\vee \overline{Q_3}\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$	$\overline{Q_3}$ ausklammern
$Q_{3n+1}=Q_3(Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})\vee \overline{Q_3}(\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{3n+1}=Q_3(Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})\vee \overline{Q_3}(\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0})$ $Q_{3n+1}=\overline{Q_{3n}}{J}_3\vee Q_{3n}\overline{K_3}$	auslesen von $J_3$ und $\overline{K_3}$
$J_3=Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$ $\overline{K_3}=\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$	vereinfachen mittels Dermorgan
$J_3=Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$ $K_3=Q_2\vee \overline{Q_1}\vee Q_0$	Lösung

$J_3=Q_2\vee \overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}$
$K_3=Q_2\vee \overline{Q_1}\vee Q_0$

Gleichung 2

$Q_{2n+1}=Q_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_2}{Q}_1$ 

$Q_{2n+1}=J\overline{Q_{2n}}\vee \bar{K}{Q}_{2n}$

Beim Teilausdruck

$Q_1\overline{Q_0}$

müssen wir Analog dem Oberen Beispiel vorgehen:

$\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee Q_2{Q}_1\overline{Q_0}$

$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee Q_2{Q}_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_2}{Q}_1$

$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee Q_2{Q}_1\overline{Q_0}\vee \overline{Q_2}{Q}_1$	$Q_2$ ausklammern
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1\overline{Q_0}\vee Q_2(Q_1\overline{Q_0})\vee \overline{Q_2}{Q}_1$	$\overline{Q_2}$ ausklammern
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}(Q_1\overline{Q_0}\vee Q_1)\vee Q_2(Q_1\overline{Q_0})$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}(Q_1\overline{Q_0}\vee Q_1)\vee Q_2(Q_1\overline{Q_0})$ $Q_{2n+1}=\overline{Q_{2n}}{J}_2\vee Q_{2n}\overline{K_2}$	auslesen von $J_2$ und $\overline{K_2}$
$J_2=Q_1\overline{Q_0}\vee Q_1$ $\overline{K_2}=Q_1\overline{Q_0}$	vereinfachen
$J_2=Q_1$ $\overline{K_2}=Q_1\overline{Q_0}$	Vereinfachung mittels Demorgan
$J_2=Q_1$ $K_2=\overline{Q_1}\vee Q_0$	Lösung

Gleichung 1

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}\overline{Q_2}\vee \overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

Analog dem vorherigen Beispiel;

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}\overline{Q_2}\vee Q_1\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_1}\overline{Q_2}{Q}_0\vee Q_1\overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}\vee \overline{Q_1}\overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

$Q_{1n+1}=J\overline{Q_{1n}}\vee \bar{K}{Q}_{1n}$

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}\overline{Q_2}\vee Q_1\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_1}\overline{Q_2}{Q}_0\vee Q_1\overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}\vee \overline{Q_1}\overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	$Q_1$ ausklammern
$Q_{1n+1}=Q_1(\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0})\vee \overline{Q_1}\overline{Q_2}\vee \overline{Q_1}\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_1}\overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	$\overline{Q_1}$ ausklammern
$Q_{1n+1}=Q_1(\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0})\vee \overline{Q_1}(\overline{Q_2}\vee \overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0})$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{1n+1}=Q_1(\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0})\vee \overline{Q_1}(\overline{Q_2}\vee \overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0})$ $Q_{1n+1}=J\overline{Q_{1n}}\vee \bar{K}{Q}_{1n}$	auslesen von $J_1$ und $\overline{K_1}$
$J_1=\overline{Q_2}\vee \overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ $\overline{K_1}=\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	vereinfachen
$J_1=\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ $\overline{K_1}=\overline{Q_2}{Q}_0\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	Resultat

$J_1=$
$K_1=$

Gleichung 0

$Q_{0n+1}=Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

$Q_{0n+1}=Q_3\overline{Q_2}{Q}_0\vee Q_3\overline{Q_2}\overline{Q_0}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$ 

$Q_{0n+1}=J\overline{Q_{0n}}\vee \bar{K}{Q}_{0n}$

$Q_{0n+1}=Q_3\overline{Q_2}{Q}_0\vee Q_3\overline{Q_2}\overline{Q_0}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	$Q_0$ ausklammern
$Q_{0n+1}=Q_0(Q_3\overline{Q_2})\vee Q_3\overline{Q_2}\overline{Q_0}\vee \overline{Q_3}{Q}_2\overline{Q_0}$	$\overline{Q_0}$ ausklammern
$Q_{0n+1}=Q_0(Q_3\overline{Q_2})\vee \overline{Q_0}(Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2)$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{0n+1}=Q_0(Q_3\overline{Q_2})\vee \overline{Q_0}(Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2)$ $Q_{0n+1}=J\overline{Q_{0n}}\vee \bar{K}{Q}_{0n}$	auslesen von $J_0$ und $\overline{K_0}$
$J_0=Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2$ $\overline{K_0}=Q_3\overline{Q_2}$	vereinfachen mittels Dermorgan
$J_0=Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2$ $K_0=\overline{Q_3}\vee Q_2$	vereinfachung

$J_0=Q_3\overline{Q_2}\vee \overline{Q_3}{Q}_2$
$K_0=\overline{Q_3}\vee Q_2$