Digitale Schaltungstechnik/ Zähler/ Synchron/ Umwandlung/ D-JK/ Bsp. 1

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Beispiel: 0 bis 7 Zähler

Erzeugen der Gleichung

	$t_n$			$t_{n+1}$
n	$Q_2$	$Q_1$	$Q_0$	$Q_2$	$Q_1$	$Q_0$
0	0	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	0
2	0	1	0	0	1	1
3	0	1	1	1	0	0
4	1	0	0	1	0	1
5	1	0	1	1	1	0
6	1	1	0	1	1	1
7	1	1	1	0	0	0

$Q_{2n+1}$	$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	$\overline{Q_1}{Q}_0$	$Q_1{Q}_0$	$Q_1\overline{Q_0}$
$\overline{Q_2}$	0 0	1 0	3 1	2 0
$Q_2$	4 1	5 1	7 0	6 1

$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1{Q}_0\vee Q_2\overline{Q_1}\vee Q_2\overline{Q_0}$

$Q_{1n+1}$	$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	$\overline{Q_1}{Q}_0$	$Q_1{Q}_0$	$Q_1\overline{Q_0}$
$\overline{Q_2}$	0 0	1 1	3 0	2 1
$Q_2$	4 0	5 1	7 0	6 1

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}{Q}_0\vee Q_1\overline{Q_0}$

$Q_{0n+1}$	$\overline{Q_1}\overline{Q_0}$	$\overline{Q_1}{Q}_0$	$Q_1{Q}_0$	$Q_1\overline{Q_0}$
$\overline{Q_2}$	0 1	1 0	3 0	2 1
$Q_2$	4 1	5 0	7 0	6 1

$Q_{0n+1}=\overline{Q_0}$

Umformen der Gleichung

Gleichung 2

Wir haben diese Gleichung für die Schaltung:

$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1{Q}_0\vee Q_2\overline{Q_1}\vee Q_2\overline{Q_0}$

und diese für das JK-Flipflop:

$Q_{n+1}=J\overline{Q_n}\vee \bar{K}{Q}_n$

Anpasste auf Q2n+1 gilt:

$Q_{2n+1}=J\overline{Q_{2n}}\vee \bar{K}{Q}_{2n}$

Wir müssen nun die Gleichung unsere Schaltung in die gleiche Form wie die des JK Flipflops bringen

$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1{Q}_0\vee Q_2\overline{Q_1}\vee Q_2\overline{Q_0}$	$Q_2$ ausklammern
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}{Q}_1{Q}_0\vee Q_2(\overline{Q_1}\vee \overline{Q_0})$	$\overline{Q_2}$ ausklammern
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}(Q_1{Q}_0)\vee Q_2(\overline{Q_1}\vee \overline{Q_0})$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{2n+1}=\overline{Q_2}(Q_1{Q}_0)\vee Q_2(\overline{Q_1}\vee \overline{Q_0})$ $Q_{2n+1}=\overline{Q_{2n}}{J}_2\vee Q_{2n}\overline{K_2}$	auslesen von $J_2$ und $\overline{K2}$
$J_2=Q_1{Q}_0$ $\overline{K_2}=\overline{Q_1}\vee \overline{Q_0}$	vereinfachen mittels Dermorgan
$J_2=Q_1{Q}_0$ $K_2=Q_1{Q}_0$	vereinfachung
$J_2=K_2=Q_1{Q}_0$

Gleichung 1

Gleichung für D-Flipflop:

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}{Q}_0\vee Q_1\overline{Q_0}$

$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}{Q}_0\vee Q_1\overline{Q_0}$	$Q_1$ ausklammern
$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}{Q}_0\vee Q_1(\overline{Q_0})$	$\overline{Q_1}$ ausklammern
$Q_{1n+1}=\overline{Q_1}(Q_0)\vee Q_1(\overline{Q_0})$	die Form der Gleichung stimmt nun überein:
$Q_{1n+1}=\overline{Q_{1n}}{J}_1\vee Q_{1n}\overline{K_1}$ $Q_{1n+1}=\overline{Q_1}(Q_0)\vee Q_1(\overline{Q_0})$	auslesen von $J_2$ und $\overline{K2}$
$J_1=Q_0$ $\overline{K_1}=\overline{Q_0}$	vereinfachen mittels Dermorgan
$J_1=Q_0$ $K_1=Q_0$	vereinfachung
$J_1=K_1=Q_0$

Gleichung 0

$Q_{0n+1}=\overline{Q0}$

$J_0=K_0=1$