Digitale Schaltungstechnik/ Zähler/ Synchron/ JK Flipflop/ beliebige Zählfolge

(Spitznamen Kraut-und-Rüben-Zähler)

Grundlagen

Da wir hier einen Teil der Logik ins Flipflop verlagern wollen, müssen wir uns nochmal näher mit dessen Funktion auseinandersetzen.

Tabelle

Eine Möglichkeit ist es, einfach diese Tabelle auswendig zu lernen bzw. anzuwenden:

$Q_{n}$	$Q_{n + 1}$	J	K
0	0	0	X
0	1	1	X
1	0	X	1
1	1	X	0

Bei einigen Lehrern ist das die Standardmethode. Da diese Methode mit dem Kurzzeitgedächnis arbeitet und bestenfalls mittelfristig im Gedächtnis bleibt, wird hier auch noch die Herleitung vorgestellt.

Es bleibt dann dem Leser überlassen, zwischen den Methoden zu wählen.

Herleitung

Eine mögliche Herleitung und damit möglicherweise einfachere Methoden zu merken, findet sich auf Digitale Schaltungstechnik/ Flipflop/ Zustandsdiagramme/ JK. Vorlage:Clear

Aufgabe

Baue einen Zähler, der wie folgt zählt:

8, 11, 4, 1, 14, 5, 9, 2

nach 2 soll er wieder mit 8 beginnen.

Ablauf

Eine Zahlenfolge aus einen definierten Bereich (z.B.: 0...15) ist gegeben und es sollen beliebige Elemente in einer beliebigen Reihenfolge gezählt werden. Es wird gefordert, dass keine Zahl doppelt auftritt. Zu allererst bestimmt man die Menge der benötigten J-K-Flip-Flop. Dann definiert man die Zustände $Q_{n + 1}$ als Nachfolger $Q_{n}$ . Nicht in der Zählfolge enthaltene Elemente werden nicht betrachtet und später als Pseudotetraden dargestellt. Aus der Veränderung der Bitfolge wird dann die J-K-Zustandstabelle für jeden Zustand aufgezählt. Man unterscheidet dabei gesetzte Zustände (0 oder 1) und beliebige Zustände (welche als Pseudothedraden dargestellt werden). Danach werden die minimierten Gleichungen mit Hilfe von Karnaugh-Veitch- (KV-) Diagramm erstellt. Aus diesen Gleichungen wird dann der synchrone Zähler konstruiert.

Wahrheitstabelle

Wir stellen die Zählfolge binär dar:

dez	$Q_{3}$	$Q_{2}$	$Q_{1}$	$Q_{0}$
8	1	0	0	0
11	1	0	1	1
4	0	1	0	0
1	0	0	0	1
14	1	1	1	0
5	0	1	0	1
9	1	0	0	1
2	0	0	1	0

Die anderen Fälle bzw. Ziffern werden als Pseudotetraden und somit x angenommen.

Als nächstes wird $Q_{n + 1}$ neben $Q_{n}$ notiert:

dez	$Q n$				$Q n + 1$
	$Q_{3}$	$Q_{2}$	$Q_{1}$	$Q_{0}$	$Q_{3}$	$Q_{2}$	$Q_{1}$	$Q_{0}$
8	1	0	0	0	1	0	1	1
11	1	0	1	1	0	1	0	0
4	0	1	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	1	1	0
14	1	1	1	0	0	1	0	1
5	0	1	0	1	1	0	0	1
9	1	0	0	1	0	0	1	0
2	0	0	1	0	1	0	0	0

Dann werden mittels obiger Wahrheitstabelle die Werte für J und K bestimmt:

dez	$Q n$				$Q n + 1$				Eingänge
	$Q_{3}$	$Q_{2}$	$Q_{1}$	$Q_{0}$	$Q_{3}$	$Q_{2}$	$Q_{1}$	$Q_{0}$	$J_{3}$	$K_{3}$	$J_{2}$	$K_{2}$	$J_{1}$	$K_{1}$	$J_{0}$	$K_{0}$
8	1	0	0	0	1	0	1	1	x	0	0	x	1	x	1	x
11	1	0	1	1	0	1	0	0	x	1	1	x	x	1	x	1
4	0	1	0	0	0	0	0	1	0	x	x	1	0	x	1	x
1	0	0	0	1	1	1	1	0	1	x	1	x	1	x	x	1
14	1	1	1	0	0	1	0	1	x	1	x	0	x	1	1	x
5	0	1	0	1	1	0	0	1	1	x	x	1	0	x	x	0
9	1	0	0	1	0	0	1	0	x	1	0	x	1	x	x	1
2	0	0	1	0	1	0	0	0	1	x	0	x	x	1	0	x

Die anderen Fälle bzw. Ziffern werden als Pseudotetraden und somit x angenommen.

KV-Diagramme

Die Pseudotetraden existieren nicht, wie ihr Name impliziert. Deshalb spielt bei diesen das Verhalten keine Rolle.

Da die Pseudotetraden bei allen KV Diagrammen gleich sind, definieren wir sie hier erst einmal für alle:

P	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴	¹⁰ X	²	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸	⁰ X	⁴
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹	¹	⁵

Dannach füllen wir für jede Variabel das KV-Diagramm aus und lesen die Gleichung aus:

$J_{3}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ X	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ X	¹⁰ X	² 1	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ X	⁰ X	⁴ 0
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ X	¹ 1	⁵ 1

$J_{3} = Q_{0} \lor \overline{Q_{2}}$

$K_{3}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ 1	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ 1	¹⁰ X	² X	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 0	⁰ X	⁴ X
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ 1	¹ X	⁵ X

$K_{3} = Q_{2} \lor Q_{0}$

$J_{2}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ 1	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ X	¹⁰ X	² 0	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 0	⁰ X	⁴ 0
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ 0	¹ 1	⁵ X

$J_{2} = Q_{1} Q_{0} \lor \overline{Q_{1}} \overline{Q_{3}}$

$K_{2}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ X	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ 0	¹⁰ X	² X	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ X	⁰ X	⁴ X
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ 1	¹ X	⁵ X

$K_{2} = \overline{Q_{1}}$

$J_{1}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ X	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ X	¹⁰ X	² X	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 1	⁰ X	⁴ 0
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ 1	¹ 1	⁵ 0

$J_{1} = \overline{Q_{2}}$

$K_{1}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ 1	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ 1	¹⁰ X	² 1	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 1	⁰ X	⁴ 1
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ 1	¹ 1	⁵ 1

$K_{1} = 1$

$J_{0}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ X	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ 1	¹⁰ X	² 0	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 1	⁰ X	⁴ 1
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ X	¹ X	⁵ X

$J_{0} = Q_{3} \lor \overline{Q_{1}}$

$K_{0}$	$Q_{3} Q_{2}$	$Q_{3} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} \overline{Q_{2}}$	$\overline{Q_{3}} Q_{2}$
$Q_{1} Q_{0}$	¹⁵ X	¹¹ 1	³ X	⁷ X
$Q_{1} \overline{Q_{0}}$	¹⁴ X	¹⁰ X	² X	⁶ X
$\overline{Q_{1}} \overline{Q_{0}}$	¹² X	⁸ 1	⁰ X	⁴ X
$\overline{Q_{1}} Q_{0}$	¹³ X	⁹ X	¹ 1	⁵ 0

$K_{0} = \overline{Q_{2}}$

Lösung

Vorlage:Lücke

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