Digitale Schaltungstechnik/ Schaltalgebra/ Gesetze

Digitale Schaltungstechnik/ Navigation Meistens lassen sich die mit der Normalform gebildeten Gleichungen noch vereinfachen. Die Gesetze die das ermöglichen werden hier nun vorgestellt.

Leitung unterbrochen 0
Schalter offen Variable 0

Leitung durchgeschaltet 
Schalter geschlossen Variable 1

Und Verknüpfung

A und 0

Analysieren wir den Ausdruck

$A\wedge 0=0$

A und 1

$A\wedge 1=A$

A und A

$A\wedge A=A$

A und A

$A\wedge \bar{A}=0$

Oder Verknüpfung

A oder 0

$A\vee 0=A$

A oder 1

$A\vee 1=1$

A oder A

$A\vee A=A$

A oder A

$A\vee \bar{A}=1$

Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

Variablen mit gleicher Verknüpfung dürfen beliebig angeordnet werden.

Und

$A\wedge B\wedge C=C\wedge B\wedge A$

Oder

$A\vee B\vee C=C\vee B\vee A$

Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz bzw. Zuordnungsgesetz)

Bei Variablen mit gleicher Verknüpfung können Klammern beliebig gesetzt werden.

$(A\wedge B)\wedge C=A\wedge (B\wedge C)$

$(A\vee B)\vee C=A\vee (B\vee C)$

Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

Ausklammern und Ausmultiplizieren gibt es auch in der Schaltalgebra.

$A\wedge (B\vee C)=(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

$A\vee (B\wedge C)=(A\vee B)\wedge (A\vee C)$

$A\wedge (A\vee B)=A$

$A\vee (A\wedge B)=A$

$G\vee (G\wedge B)=G$

Doppelte Negationen

Doppelte Negationen heben sich auf.

$A=\overline{\stackrel{‾}{A}}$

Vereinfachung

Im Kapitel Wahrheitstabelle haben wir diese Gleichung ausgelesen:

$X=\bar{C}\bar{B}\bar{A}\vee \bar{C}B\bar{A}\vee C\bar{B}A\vee CB\bar{A}$

Vereinfachen wir sie nun mit den neuen Regeln:

$X=\bar{C}\bar{B}\bar{A}\vee \bar{C}B\bar{A}\vee C\bar{B}A\vee CB\bar{A}$	$\bar{C}\bar{A}$ ausklammern
$X=\bar{C}\bar{A}(\bar{B}\vee B)\vee \bar{C}\bar{A}\vee C\bar{B}A\vee CB\bar{A}$	$\bar{B}\vee B=1$
$X=\bar{C}\bar{A}\vee C\bar{B}A\vee CB\bar{A}$	$C$ ausklammern
$X=\bar{C}\bar{A}\vee C(\bar{B}A\vee B\bar{A})$	Resultat

Durch das Ausklammern ergeben sich mehrere Möglichkeiten, die praktisch gleich gut sind.