Digitale Schaltungstechnik/ Schaltalgebra/ Einleitung/ Lösungen

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Reine Schaltalgebra

Teilweise sind mehrere Lösungen möglich.

Aufgabe	Lösung
Einsteiger Aufgaben
$X=\overline{\stackrel{‾}{A}\wedge \stackrel{‾}{B}}$	$X=A\vee B$
$X=A\vee A\wedge \bar{B}$	$X=A$
$X=B\vee A\wedge \bar{B}$	$X=A\vee B$
$X=A\vee \bar{A}$	$X=1$
$X=A\wedge \bar{A}\wedge C$	$X=0$
Fortgeschrittene Aufgaben
$X=A\wedge (B\bar{A}\vee CB)$	$X=ABC$
$X=A\wedge (BC\vee C\bar{A}\vee A)$	$X=A$
$X=\bar{A}\wedge (AB\vee AC\vee AD)$	$X=0$ $X=A\wedge BCD$
$X=AB\vee \bar{A}B\vee A\bar{B}\vee \bar{A}\wedge \bar{B}$	$X=1$
$X=A\wedge (B\vee C)\vee B\wedge (A\vee C)$	$X=AB\vee AC\vee BC$ $X=A(B\vee C)\vee BC$ $X=AB\vee C(A\vee B)$ $X=B(A\vee C)\vee AC$
$X=A\vee \overline{\stackrel{‾}{A}\wedge B\wedge \stackrel{‾}{C}}$	$X=A\vee \bar{B}\vee C$
Profi Aufgaben
$X=D\wedge [(A\vee B)\oplus C]$	$X=\bar{A}\wedge \bar{B}\wedge C\wedge D\vee (A\wedge \bar{C}\wedge D\vee B\wedge \bar{C}\wedge D)$
$X=\overline{(A\vee \stackrel{‾}{B})\wedge (C\vee \stackrel{‾}{D})\wedge (A\oplus B)}$	$X=B\vee \bar{A}\vee \bar{C}\wedge D$

Text Aufgaben

Wasserstandsmeldung

Situation:

In einem Wassertank sind vier Schwimmer eingebaut und der Tank wird mit zwei Pumpen gefüllt. Die erste Pumpe schafft 5 l/s, die zweite 10 l/s

Aufgabe:

Bei 25%, soll mit 15 l/s Wasser gefördert werden, bei 50% mit 10 l/s und bei 75% noch mit 5 l/s. Bei 100% Füllung soll nicht mehr gefordert werden. Bei 0% soll hingegen ein Alarm losgehen.

Zusatzaufgabe:

Bei einem unlogischen Zustand, wie er z.B. durch einen defekten Sensor entstehen kann, soll ein Alarm ausgelöst werden.

Der erste Schritt ist die Analyse der Aufgabenstellung.

Wasserstands	Reaktion
0%	Alarm
25%	15 l/s
50%	10 l/s
75%	5 l/s
100%	0 l/s

Nun analysieren wir die Schwimmer:

Wasserstand	S1	S2	S3	S4
0%	0	0	0	0
25%	1	0	0	0
50%	1	1	0	0
75%	1	1	1	0
100%	1	1	1	1

Nun betrachten wir die Pumpleistung:

Pumpleistung	P1	P2
0 l/s	0	0
5 l/s	1	0
10 l/s	0	1
15l/s	1	1

Nun setzen wir die Wahrheitstabelle zusammen:

	Eingang				Ausgang
Wasserstand	S1 = A	S2 = B	S3 = C	S4 = D	P1	P2	A
0%	0	0	0	0	1	1	1
25%	1	0	0	0	1	1	0
50%	1	1	0	0	0	1	0
75%	1	1	1	0	1	0	0
100%	1	1	1	1	0	0	0

Nun können wir die Gleichung auslesen:

$P1=(\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D})\vee (A\bar{B}\bar{C}\bar{D})\vee (ABC\bar{D})$

P2

A

Ampelschaltungen

...

Schwellwert

Beschreibung

• LED 1 soll leuchten, wenn die Zahl am Eingang kleiner als 7 ist.
• LED 2 soll leuchten, wenn die Zahl am Eingang gleich 7 ist.
• LED 3 soll leuchten, wenn die Zahl am Eingang grösser 7 ist.

Lösung

DCBA L3 L2 L1 Wert 0000 0 0 1 0 0001 0 0 1 1 0010 0 0 1 2 0011 0 0 1 3 0100 0 0 1 4 0101 0 0 1 5 0110 0 0 1 6 0111 0 1 0 7 1000 1 0 0 8 1001 1 0 0 9 1010 1 0 0 10 1011 1 0 0 11 1100 1 0 0 12 1101 1 0 0 13 1110 1 0 0 14 1111 1 0 0 15

$L_1=\bar{D}\wedge \overline{\stackrel{‾}{D}CBA}=\bar{D}\wedge \overline{L2}=\overline{D\vee L2}$
$L_2=\bar{D}CBA$
$L_3=D$

Motoren

In einer Firma stehen 4 Motoren.

• Motor 1 verbraucht 15 kW
• Motor 2 verbraucht 10 kW
• Motor 3 verbraucht 5 kW
• Motor 4 verbraucht 2 kW

Das Problem ist, dass aufgrund des Anschlusses der Firma maximal 26 kW gleichzeitig verbraucht werden dürfen.

Eine Schaltung soll sicherstellen, dass nicht versehentlich mehr verbraucht wird.

Lösung

M4	M3	M2	M1	A
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	0
1	1	1	1	1

$A=M1\wedge M2\wedge M3\wedge \overline{M4}\vee M1\wedge M2\wedge \overline{M3}\wedge M4\vee M1\wedge M2\wedge M3\wedge M4$
$A=M1\wedge M2\wedge M3\vee M1\wedge M2\wedge M4$
$A=M1\wedge M2\wedge (M3\vee M4)$

Lampenschaltung

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