Diffgeo: Kurventheorie: Parameterisierung nach Bogenlänge

Parameterdarstellung nach Bogenlänge

Wird t wie vorher als Zeit betrachtet, so wäre es auch interessant, die Kurve nach dem Weg, genauer der Bogenlänge $s$, parametrisieren zu können. Dazu ist eine Parametertransformation nötig. Die Gestalt der Kurve muss natürlich gleich bleiben.

Gesucht wird also eine Transformationsfunktion $s(t).$

Ein kleiner Teil $\mathrm{\Delta }s$ des Bogens kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras annäherend geschrieben werden als:

$\mathrm{\Delta }{s}^2\approx \mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2+\mathrm{\Delta }{z}^2$.

Im Limes ergibt sich:

$\mathrm{d}\mathrm{s}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{d}{\mathrm{y}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{d}{\mathrm{z}}^{\mathrm{2}}}$,

oder

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{s}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2}$.

Daraus finden wir durch Integrieren:

$s(t_1)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2}\mathrm{d}\mathrm{t}$,

Diese Formel lässt sich auch wie folgt ableiten:

Der Punkt bewegt sich nur vorwärts auf der Kurve; die Geschwindigkeit mit der sich der Punkt bewegt ist also positiv:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{s}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}>0$

Deshalb ist:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{s}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}=\Vert \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{x}}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\Vert =\Vert \dot{\overrightarrow{x}}\Vert =\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2}$

Dies können wir durch Integration lösen und erhalten den Zusammenhang zwischen s und t. Die durch die Norm vorgegebene Berechnungsvorschrift (Wurzelziehen aus den x-,y-,z-Skalaren) setzen wir ein.

Die Parametrisierung nach der Bogenlänge wird auch natürliche Parameterdarstellung genannt.

Praxisbeispiel

Stellen Sie sich vor, die Schraubenlinie aus Beispiel 2 beschreibt die Auffahrt in einem Parkhaus mit Radius r=8m und Höhe h=12m. Sie möchten entlang der unteren $\frac{2}{3}$ der Strecke einen Warnstreifen anbringen. Wieviel Meter Streifen werden benötigt?

Schraubenlinie

$x(t)=r\cos (t)$

$y(t)=r\sin (t)$

$z(t)=\frac{1}{2}ht$

Die Höhe h=12m ist erreicht, wenn t=2m gilt:

$0\mathrm{m}\le t\le 2\mathrm{m}$

Zuerst wollen wir für die Schraubenlinie den Parameter $s$ berechnen

$\Vert \dot{\overrightarrow{x}}\Vert =\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}\right)}^2}=\sqrt{r^2{\sin }^{2}t+r^2{\cos }^{2}t+\frac{1}{4}{h}^2}=\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{h}^2}$

$s(t_1)=\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}\Vert \dot{\overrightarrow{x}}\Vert \mathrm{d}\mathrm{t}\mathrm{=}\sqrt{{\mathrm{r}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\frac{1}{4}{\mathrm{h}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}}_{\mathrm{1}}$

Die Länge der Auffahrt ergibt sich zu:

$s(2\mathrm{m})=\sqrt{8^2+6^2}2\mathrm{m}=20\mathrm{m}$

Benötigt werden also 20m Warnstreifen.

Die natürliche Parameterdarstellung:

$x(s)=r\cos \left(\frac{s}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{h}^2}}\right)$

$y(s)=r\sin \left(\frac{s}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{h}^2}}\right)$

$z(s)=\frac{1}{2}h\frac{s}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{h}^2}}$