Diffgeo: Flächentheorie: Winkel zwischen Flächenkurven

Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven

Wie wir den Schnittwinkel beliebiger Flächenkurven berechnen, kannst du dir wahrscheinlich schon denken; als Skalarprodukt der Tangenten im Schnittpunkt. Richtig!

$\cos \varphi =\frac{{\dot{\overrightarrow{x}}}_1\cdot {\dot{\overrightarrow{x}}}_2}{\Vert {\dot{\overrightarrow{x}}}_1\Vert \Vert {\dot{\overrightarrow{x}}}_2\Vert }$

Das lässt sich auch mithilfe der Fundamentalgrößen E, F, G ausdrücken. Hierbei sind die ${\overrightarrow{x}}_i$ jeweils durch $u_i(t)$ und $v_i(t)$ parametrisiert:

$\cos \varphi =\frac{E{\dot{u}}_1{\dot{u}}_2+F({\dot{u}}_1{\dot{v}}_2+{\dot{v}}_1{\dot{u}}_2)+G{\dot{v}}_1{\dot{v}}_2}{\sqrt{(E{\dot{u}}_1^2+2F{\dot{u}}_1{\dot{v}}_1+G{\dot{v}}_1^2)(E{\dot{u}}_2^2+2F{\dot{u}}_2{\dot{v}}_2+G{\dot{v}}_2^2)}}$

$\dot{u}$ bzw. $\dot{v}$ sind die Ableitungen der Funktionen u(t) und v(t) nach t.

Schnittwinkel von Parameterlinien

Die Schnittwinkel von Parameterlinien lassen sich direkt aus den Fundamentalgrößen berechnen:

$\cos \varphi =\frac{F}{\sqrt{EG}}$

Wenn $F\equiv 0$, d.h. konstant 0 ist, schneiden sich die Parameterlinien in einem rechten Winkel. Man spricht dann von einer orthogonalen Parametrisierung.