Diffgeo: Flächentheorie: Parameterlinien

Parameterlinien

Parameterlinien auf der Kugel

Parameterlinien auf der Fläche erhalten wir, indem wir einen der Parameter konstant setzen und den anderen variabel lassen. Die Parameterlinie ist eine Kurve, die vollständig in der Fläche liegt.

Beispiel: Längen und Breitenkreise der Kugel Im Bild sind die Parameterlinien auf der Kugel zu sehen. Für v=const bilden sich Breitenkreise. Nur der Äquator ist ein Großkreis. Für u=const bilden sich Meridiane. Alle Meridiane sind Großkreise. Die eingezeichneten Meridiane sind bis auf einen unvollständig, sie sollten auf der "Rückseite" der Kugel fortgesetzt sein.

Setzt man die konstanten Parameter in die Flächengleichung ein, erhält man die Gleichung der Parameterlinien.

Für v=45° sieht das so aus:

$\overrightarrow{x}(u,v)=R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos u\cdot \overrightarrow{e_x}+R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin u\cdot \overrightarrow{e_y}+R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \overrightarrow{e_z}$

Beliebige Linien auf der Fläche

Durch Manipulation der Parameter u und v lässt sich jede beliebige stetige Linie auf der Fläche darstellen. Setzt man

$\cos v=\frac{1}{\cosh (t\cdot \tan \omega )}$ und $\cos u=t$

folgt daraus auf der Kugel die Gleichung der Kugelloxodromen.