Diffgeo: Flächentheorie: Flächeninhalt

Flächeninhalt

Mit der Metrik können wir auch den Flächeninhalt berechnen. Denn schließlich entstand die erste Fundamentalform aus Überlegungen zur Bogenlänge. Eine Fläche wird von Bogenstücken begrenzt. Die Herleitung ist hier nicht ausgeführt. Die Flächenformel folgt aus dem Ansatz:

$dO=\Vert {\overrightarrow{x}}_u\times {\overrightarrow{x}}_v\Vert dudv$

Die Norm des Vektorproduktes ist der Flächeninhalt des von ${\overrightarrow{x}}_u$ und ${\overrightarrow{x}}_v$ aufgespannten Parallelogramms. Daraus ergibt sich das Flächenelement für die Integration.

Der Flächeninhalt $O$ einer mit den gaußschen Parametern parametrisierten Fläche berechnet sich wie folgt:

$O=\iint \Vert {\overrightarrow{x}}_u\times {\overrightarrow{x}}_v\Vert dudv=\iint \sqrt{EG-F^2}dudv$

Durch Wahl eines geeigneten Integrationsbereiches lässt sich auch der Flächeninhalt eines Teilstücks der Fläche berechnen.