Die Sprache der Mathematik: Gruppen

Einleitung

Um eine Gruppe formal einführen zu können, fehlt noch die Definition einer Verknüpfung.

Sei M eine Menge. Unter einer Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge M versteht man eine Abbildung $\circ :M\times M⟶M$, $(a,b)\mapsto a\circ b$.

Einfaches Beispiel einer Verknüpfung auf z.B. den ganzen Zahlen ist die übliche Addition oder Multiplikation.

Gruppe: Definition

Eine nicht-leere Menge $G$ zusammen mit einer Verknüpfung $\circ$, kurz: ($G,\circ$), nennt sich Gruppe, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

1. $G=\mathrm{\varnothing }$
2. Für alle $a,b\in G$ gilt: $a\circ b\in G$ (Abgeschlossenheit)
3. Für alle $a,b,c\in G$ gilt: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ (Die Verknüpfung ist assoziativ)
4. Es gibt ein Element $e\in G$, so daß für alle $a\in G$ gilt: $e\circ a=a\circ e=a$ (Existenz eines neutralen Elements)
5. Für alle $a\in G$ gibt es ein $b\in G$, so daß gilt: $a\circ b=b\circ a=e$ (Existenz eines inversen Elements/Inversen)

Gilt außerdem:

Für alle $a,b\in G$ gilt: $a\circ b=b\circ a$ (Kommutativität),

so nennt sich die Gruppe ($G,\circ$) abelsch oder kommutativ.

Beispiele

1. $(\mathbb{Z},+)$: Die ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Addition bilden eine abelsche Gruppe. (das neutrale Element ist die 0 und das Inverse zu einer Zahl m ist -m)
2. $(ℝ,+)$: Die reellen Zahlen mit üblicher Addition sind ebenfalls eine abelsche Gruppe.
3. $(ℝ\setminus \{0\},*)$, die reellen Zahlen ohne Null mit üblicher Multiplikation sind eine abelsche Gruppe.(neutrales Element ist die 1, Inverses zu einem Element $x$ ist $x^{-1}$).
4. $(\mathbb{N},+)$ ist keine Gruppe, da die Existenz eines Inversen nicht gegeben ist.(z.B.hat 2 kein Inverses, da -2 nicht mehr zu den natürlichen Zahlen gehört)
5. $(\mathbb{Z},*)$ ist keine Gruppe, da es nicht für alle ganzen Zahlen Inverse gibt.
6. $(\{f|f:ℝ⟶ℝ,f\text{ bijektiv}\},\circ )$: Die Menge der bijektiven Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ zusammen mit der Hintereinanderausführung ist eine Gruppe, aber nicht abelsch.

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