Die Sprache der Mathematik: Abbildungen

Hat man nun zwei Mengen, so kann man jedem Element der einen ein Element aus der anderen Menge zuordnen. Diese Zuordnungsvorschrift nennt man Abbildung.

Die formale Definition dafür sieht so aus:

Seien M, N Mengen. Dann ist $\mathrm{\Phi }:M⟶N$ (sprich: Phi von M nach N), $m\mapsto \mathrm{\Phi }(m)=n$ (sprich: m geht auf n) eine Abbildung $\mathrm{\Phi }$. Sie ordnet dem Element $m\in M$ das Element $n\in N$ zu.

Die Abbildung ist rechtseindeutig, das bedeutet: Aus $\mathrm{\Phi }(m)=n$ und $\mathrm{\Phi }(m)=k$ folgt stets: $n=k$.

Man nennt eine Abbildung auch Funktion.

Grundlegende Begriffe

• Das Bild einer Abbildung $f:M⟶N$ ist die Menge aller Elemente aus N, die den Elementen aus M zugeordnet wurden. Formal: $f(M):=\{n\in N|\mathrm{\exists }m\in M:f(m)=n\}$. Beachte, dass im Allgemeinen die Bildmenge von M nicht ganz N ist, sondern eine Teilmenge von N.

• Dementsprechend definiert man die Bildmenge einer Teilmenge A von M: $f(A)=\{n\in N|\mathrm{\exists }m\in A:f(m)=n\}$

• Die Umkehrrelation (Vorsicht: Sie ist in Allgemeinen KEINE Abbildung, weil sie die Rechtseindeutigkeit nicht erfüllt!) $f^{-1}(n):=\{m|f(m)=n\}$.

• Die Urbildmenge $f^{-1}(B)$ einer Teilmenge B von N ist dementsprechend: $f^{-1}(B)=\{m\in M|f(m)\in B\}$

Grundlegende Eigenschaften von Abbildungen

Einige der grundlegendsten Eigenschaften von Abbildungen, die jeder Mathe-Anfänger verinnerlicht haben sollte, sind wohl die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv.

Eine Abbildung $f:M⟶N$ heißt:

• injektiv: Für $a,b\in M$ mit $a\ne b$ folgt immer: $f(a)\ne f(b)$. Das heißt, dass jedes Element aus N höchstens ein Urbild hat.

• surjektiv: Für alle $n\in N$ gibt es ein $m\in M$, so daß $f(m)=n$. Das heißt also, dass jedes Element aus der Menge N mindestens ein Urbild hat.

• bijektiv: Die Abbildung ist injektiv und surjektiv. Also hat jedes Element aus der Bildmenge N genau ein Urbild (es soll ja gelten "mindestens ein" und "höchstens ein" Urbild, also bleibt "genau eins" übrig.).

Beispiele

Im Folgenden bezeichnen M und N Mengen.

• Sei M = N. Die Abbildung $Id:M⟶M$, $x\mapsto Id(x)=x$, die jedes Element wieder auf sich selbst abbildet, nennt sich Identität. Sie ist bijektiv.

• Sei M=R die Menge der reellen Zahlen. $f$:R$⟶$R, $f(x)=x^2$ ist die Abbildung, die jeder reellen Zahl ihr Quadrat zuordnet. Sie ist nicht injektiv, denn: Es sei $x=2$ und es sei $y=-2$. Dann gilt offensichtlich $x\ne y$. Aber es ist $x^2=2*2=4=(-2)*(-2)=y^2$, also $f(x)=f(y)$. Also kann die Funktion nicht injektiv sein.

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