Datei:01-Quadratur des Kreises E-15.svg

Originaldatei (SVG-Datei, Basisgröße: 866 × 633 Pixel, Dateigröße: 51 KB)

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Beschreibung

Beschreibung01-Quadratur des Kreises E-15.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion English: Squaring the circle, approximate construction
Datum	12. April 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
SVG‑Erstellung InfoField	Der SVG-Code ist valide. Dieses Diagramm wurde von Petrus3743 mit GeoGebra erstellt. This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion

Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$ .
Gerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $B$ .
Gerade senkrecht zu ${\overline {AB}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $C$ und $D$ .
Strecken ${\overline {AE}}\ ={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}\ ={\overline {AF}}\ ={\overline {FG}}\ ={\overline {GH}}\ ={\overline {HI}}$ eintragen.
Kreis um $M$ durch $E$ .
Strecken ${\overline {EJ}}={\overline {JA}}\ ={\overline {FL}}$ , Kreis um $M$ durch $J$ ergibt Schnittpunkt $K$ .
Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt

N

, dessen Abstand zu Punkt

C

ist gleich der Strecke

{\overline {GJ}}

. In der Darstellung beschrieben als

|CN|\ ={\overline {GJ}}

. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von

O

als

|KO|\ ={\overline {ML}}

bis

W

als

|CW|\ ={\overline {BI}}

(Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab

W

durch

V

bis sie die äußere Kreislinie in

Z_{1}

schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt

Z_{1}

durch

U

bis sie wieder die äußere Kreislinie in

A_{1}

schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von

B_{1}

bis

H_{1}

(Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

Die letzte Sekante ${\overline {H_{1}E}}$ schneidet die Strecke ${\overline {CM}}$ in $I_{1}$ und liefert somit die Strecke ${\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a$ .
Konstruiere abschließend mittels der Strecke ${\overline {I_{1}M}}$ das Quadrat $A'B'C'D'$ mit Seite $a$ .

Somit ergibt sich:

Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der des gegebenen Kreises.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

Konstruierte Seitenlänge des Quadrats in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=1{,}772453850905516\;[LE]$ . → Die letzte Nachkommastelle kann sich von Konstruktion zu Konstruktion unterscheiden!
Seitenlänge des Quadrates $a_{SOLL}={\sqrt {\pi }}=1{,}772453850905516\;027\ldots \;[LE]$ .
Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler

F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE].

Flächenihalt des konstruierten Quadrates $A=a^{2}=3{,}141592653589793\;141\ldots \;[FE]$ .
Flächeninhalt des Quadrates $A_{SOLL}=\pi =3{,}141592653589793\;238\ldots \;[FE]$
Absoluter Fehler des Flächeninhalts des Quadrates $=F_{A}=a^{2}-a_{SOLL}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[FE]$ .

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierte Seite des Quadrats < 1 mm.
Bei einem Radius r = 1.000 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats < 1 cm².

Proximity construction

Circle around $M$ with any radius ${\overline {AM}}$ .
Straight line through $A$ and $M$ yields intersection $B$ .
Straight line perpendicular to ${\overline {AB}}$ through $M$ yields intersections $C$ and $D$ .
Line segments ${\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ .
Circle around $M$ by $E$ .
Line segments ${\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}$ , circle around $M$ through $J$ gives intersection $K$ .
Determining the function points:

It starts with point

N

, whose distance to point

C

is equal to the segment

{\overline {GJ}}

. Described in the representation as

|CN|={\overline {GJ}}

. In this way, the other function points from

O

as

|KO|={\overline {ML}}

to

W

as

|CW|={\overline {BI}}

(sequence see short description in the representation).

Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from

W

through

V

until it intersects the outer circle at

Z_{1}

. The next secant runs from the last received intersection

Z_{1}

through

U

until it also intersects the outer circle line in

A_{1}

. In this way, the points from

B_{1}

to

H_{1}

(order can be seen from the progression of the secants) are determined.

The last secant ${\overline {H_{1}E}}$ intersects the line ${\overline {CM}}$ in $I_{1}$ and thus yields the line ${\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a$ .
Finally, construct the square $A'B'C'D'$ with side $a$ using the line ${\overline {I_{1}M}}$ .

Thus, the result is:

A square with an area almost equal to that of the given circle.

Result

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]

Constructed side length of the square in GeoGebra (display max 15 decimal places) $a=1.772453850905515\;[unit\;of\;length]$ . → The last decimal place can differ from construction to construction!
Side lenght of the square $a_{SHOULD}={\sqrt {\pi }}=1.772453850905516\;027\ldots \;[unit\;of\;length]$ .
Absolute error of the constructed side lenght $F_{a}=a-a_{SHOULD}=0.0\;[unit\;of\;length]$ .
Area of the constructed square $A=a^{2}=3.141592653589793\;141\ldots \;[unit\;of\;area]$ .
Area of the square $A_{SHOULD}=\pi =3.141592653589793\;238\ldots \;[unit\;of\;area]$ .
Absolute error in the area of the square $=F_{A}=a^{2}-a_{SHOULD}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[unit\;of\;area]$ .

Examples to illustrate the errors

At a radius r = 1 billion km (the light would need about 56 min for this distance) the absolute error of the constructed side length would be < 1 mm.
At a radius r = 1,000 km the absolute error of the square would be < 1 cm².

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