Beweisarchiv: Topologie: Kompaktheit und Zusammenhang reeller Intervalle

In Topologie und reeller Analysis ist die Tatsache, dass abgeschlossene reelle Intervalle die Eigenschaften der Kompaktheit und des Zusammenhangs haben, von weitreichender Konsequenz. Im Folgenden wird durch einen einfachen Beweis gezeigt, dass hier Kompaktheit schon direkt Zusammenhang impliziert. Es gilt auch das Umgekehrte und mehr noch, dass beide Eigenschaften Ausdruck der Vollständigkeit des Körpers der reellen Zahlen sind.

Proposition: Kompaktheit impliziert Zusammenhang.

Im Einzelnen gilt:

Aus der Tatsche, dass ein Intervalls $[a,b]\subset ℝ$ in der von $ℝ$ induzierten Unterraumtopologie ein kompakter Raum ist, folgt, dass $[a,b]$ auch ein zusammenhängender Raum ist.

Beweis

Angenommen es gebe nichtleere , in $[a,b]$ offene Teilmengen $A$   und   $B$   , welche das Intervall disjunkt zerlegen, also offene Teilmengen $A\ne \mathrm{\varnothing }\ne B$ mit $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ und $A\cup B=[a,b]$ .

Beide Teilmengen sind dann auch abgeschlossen in $[a,b]$ und damit kompakt. Folglich ist $A\times B$ ebenfalls kompakt und nichtleer.

Nun ist die auf $A\times B$ eingeschränkte Abstandsfunktion

$d:A\times B\to {ℝ}^{\ge 0},(x,y)\mapsto d(x,y)=|x-y|$

stetig auf $A\times B$.

Nach dem weierstraßschen Satz vom Maximum und Minimum muss sie dann auch ihr absolutes Minimum $\min (d)$ annehmen, und zwar in zwei Elementen $x_0\in A$ und $y_0\in B$ , welche

$\min (d)=|x_0-y_0|$

erfüllen.

Dabei muss wegen der Disjunktheit der beiden Teilmengen $A$   und   $B$   $\min (d)=|x_0-y_0|>0$ und damit $x_0\ne y_0$ gelten.

Nun ist der Mittelpunkt $z_0=\frac{x_0+y_0}{2}$ des nichtleeren Teilintervalls $[x_0,y_0]\subseteq [a,b]$ notwendig in einer der beiden Teilmengen $A$   bzw.   $B$   enthalten.

Andererseits gilt aber auch $|z_0-x_0|=|z_0-y_0|=\frac{\min (d)}{2}<\min (d)$   ,

was aber in jedem Falle die Minimalität von $|x_0-y_0|$ verletzt.

Folglich liegt ein Widerspruch vor, womit gezeigt ist, dass es eine disjunkte Zerlegung von $[a,b]$ in nichtleere offene Teilmengen $A$   und   $B$   nicht geben kann.

Das aber bedeutet, dass $[a,b]$ in der von $ℝ$ induzierten Unterraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist.

Hintergrundliteratur

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