Der Satz von Poincaré-Bohl, englisch Poincaré-Bohl theorem, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher den beiden Mathematikern Henri Poincaré (1854 - 1912) und Piers Bohl (1865 - 1921) zugerechnet wird. Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft des brouwerschen Abbildungsgrades für stetige Vektorfelder im euklidischen Raum.

Der Satz besagt:^[1]^[2]

Gegeben seien eine offene und beschränkte Menge $Ω \subset ℝ^{n} (n \in ℕ)$ und dazu zwei stetige Abbildungen

F, G : \overline{Ω} \to ℝ^{n}

.^[3]

Hierzu sei

γ = \partial Ω

die zugehörige Menge der Randpunkte sowie

U : = ⋃_{x \in γ} [F (x), G (x)]

die Menge aller Punkte, welche auf den Verbindungsstrecken zwischen $F$ - und $G$ -Bildpunkt dieser Randpunkte liegen.

Dann gilt:

Für jeden außerhalb liegenden Punkt, also für jeden Punkt $y \in ℝ^{n} ∖ U$ , stimmen die brouwerschen Abbildungsgrade von $F$ und $G$ überein:

d (F, Ω, y) = d (G, Ω, y)

.

Hierzu lässt sich nun allein durch einige elementare Schlussweisen - und im Anschluss an die Darstellung von Egbert Harzheim! - zeigen, dass aus dem Satz von Poincaré-Bohl durch Anwendung der Eigenschaften des Abbildungsgrades und eines einfachen geometrischen Hilfssatzes unmittelbar der berühmte Satz von Poincaré-Brouwer folgt, welcher folgendes besagt:^[4]

Für jedes $m \in ℕ$ und für jede stetige Abbildung $f : 𝕊^{2 m} \to ℝ^{2 m + 1}$ existiert ein $x_{0} \in 𝕊^{2 m}$ und ein $λ \in ℝ$ mit $f (x_{0}) = λ \cdot x_{0}$ .

Beweis der Folgerung

Für den Beweis benötigt man einen Hilfssatz.

Hilfssatz

Der Hilfssatz lautet wie folgt:

Enthält im $ℝ^{k + 1} (k \in ℕ)$ eine Sehne $[a, b] (a, b \in 𝕊^{k})$ der abgeschlossenen Einheitskugel $\overline{B_{ℝ^{k + 1}}}$ den Nullpunkt , so ist die Sehne $[a, b]$ ein Durchmesser mit antipodischen Endpunkten $a$ und $b = - a$ .^[5]

Der Beweis des Hilfssatzes geht wie folgt:

Nach Voraussetzung gilt für ein $t \in ℝ, 0 \leq t \leq 1$ :

𝟎 = t a + (1 - t) b

und damit

t a = - (1 - t) b

(*)

und weiter

t^{2} = (t ‖ a ‖_{2})^{2} = (‖ t a ‖_{2})^{2} = (‖ - (1 - t) b ‖_{2})^{2} = ((1 - t) ‖ b ‖_{2})^{2} = (1 - t)^{2} = 1 - 2 t + t^{2}

.

Also ist

0 = 1 - 2 t

und damit

t = \frac{1}{2}

.

Wegen (*) folgt dann sogleich

a = - b

.

Eigentlicher Beweis

Für den Fall, dass $f$ eine Nullstelle hat, ist die Behauptung unmittelbar einsichtig.

Andernfalls betrachtet man zu $f$ die folgende auf der abgeschlossenen Einheitskugel von $ℝ^{2 m + 1}$ definierte stetige Abbildung:

F : \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}} \to \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}} \subset ℝ^{2 m + 1}

mit

F (x) = {\begin{matrix} \frac{‖ x ‖_{2}}{‖ f (\frac{x}{‖ x ‖_{2}}) ‖_{2}} \cdot f (\frac{x}{‖ x ‖_{2}}) & , falls x \in \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}} ∖ {0} \\ 0 & , falls x = 0 \end{matrix}

.

Nun ist

𝕊^{2 m} = \partial \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}}

und daher ist es nach dem Satz von Poincaré-Bohl unmöglich, dass

0 \notin ⋃_{x \in 𝕊^{2 m}} ([F (x), x] \cup [F (x), - x]) = (⋃_{x \in 𝕊^{2 m}} [F (x), x]) \cup (⋃_{x \in 𝕊^{2 m}} [F (x), - x])

gilt.

Denn dann wäre ja mit der Inklusionsabbildung

I : \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}} \to ℝ^{2 m + 1}, x \mapsto x

und der Antipodenabbildung

A : \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}} \to ℝ^{2 m + 1}, x \mapsto - x

die Gleichung

d (I, \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}}, 0) = d (A, \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}}, 0)

gegeben.

Da jedoch

1 = d (I, \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}}, 0) \neq d (A, \overline{B_{ℝ^{2 m + 1}}}, 0) = (- 1)^{2 m + 1}

gilt, gelangt man auf diesem Wege direkt zu einem Widerspruch!

Daher kann nur folgendes gelten:

Für mindestens ein $x \in 𝕊^{2 m}$ muss

0 \in [F (x), x]

oder

0 \in [F (x), - x]

(**)

gegeben sein.

Nun ist stets

‖ F (x) ‖_{2} = 1 (x \in 𝕊^{2 m})

und daher stellt jede der beiden Verbindungsstrecken

[F (x), x]

und

[F (x), - x]

für

x \in 𝕊^{2 m}

eine Sehne der Einheitskugel dar.

Nach obigem Hilfssatz folgt aus (**) daher:

Es ist $F (x) = \mp x$ für mindestens ein $x \in 𝕊^{2 m}$ .

Wegen $‖ x ‖_{2} = 1$ bedeutet dies aber:

\frac{1}{‖ f (x) ‖_{2}} \cdot f (x) = \mp x

und daher

f (x) = \mp ‖ f (x) ‖_{2} \cdot x

.

Indem man

λ = \mp ‖ f (x) ‖_{2}

gemäß (**) passend setzt, hat man alles gezeigt.

Quellen und Hintergrundliteratur

Einzelnachweise und Fußnoten

↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie I 1965, S. 459
↑ J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables 2000, S. 157
↑ $\overline{Ω}$ ist die abgeschlossene Hülle von $Ω$ .
↑ Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 176–177 i. V. m. S. 87, 120, 166-167
↑ Der Hilfssatz beinhaltet die geometrisch-anschaulich leicht einzusehende Aussage, dass in einer Vollkugel des euklidischen Raums jede Kugelsehne, welche den Kugelmittelpunkt enthält, schon ein Durchmesser sein muss und dass somit die Sehnenendpunkte schon Antipoden sind.

[A-H-1] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie I 1965, S. 459

[O-R-2] J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables 2000, S. 157

[3] $\overline{Ω}$ ist die abgeschlossene Hülle von $Ω$ .

[Harzheim-4] Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie. 1978, S. 176–177 i. V. m. S. 87, 120, 166-167

[5] Der Hilfssatz beinhaltet die geometrisch-anschaulich leicht einzusehende Aussage, dass in einer Vollkugel des euklidischen Raums jede Kugelsehne, welche den Kugelmittelpunkt enthält, schon ein Durchmesser sein muss und dass somit die Sehnenendpunkte schon Antipoden sind.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Beweisarchiv: Topologie: Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.

Inhaltsverzeichnis

Beweis der Folgerung

Hilfssatz

Eigentlicher Beweis

Quellen und Hintergrundliteratur

Einzelnachweise und Fußnoten

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