Beweisarchiv: Topologie: Analogon zum Satz von Baire für endlich viele abgeschlossene Teilmengen

Der fundamentale Satz von Baire besagt, dass für jeden lokalkompakten Hausdorffraum und ebenso für jeden vollständigen metrischen Raum stets folgendes gilt:

Unter höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Teilmengen des Raums, deren Vereinigung einen inneren Punkt hat, existiert stets mindestens eine, welche ebenfalls einen inneren Punkt hat.

Wie sich zeigt, hat für den Fall, dass nur endlich viele abgeschlossene Teilmengen vorliegen, das Analogon des baireschen Satzes sogar ohne alle Voraussetzungen über die Topologie des Raumes Gültigkeit. Weiter lässt sich zeigen, dass das Analogon sogar auf den Fall lokalendlicher Familien ausdehnbar ist.

Formulierung des Analogons

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und eine endliche Indexmenge $I\ne \mathrm{\varnothing }$ und dazu eine endliche Familie $(E_i{)}_{i\in I}$ von abgeschlossenen Teilmengen $E_i\subseteq X$ mit

$V=\bigcup _{i\in I}{E}_i$

als Vereinigungsmenge dieser abgeschlossenen Teilmengen.

Dann gilt:

Hat $V$ innere Punkte, so muss schon eine der Teilmengen $E_i$ innere Punkte haben.

Etwas anders formuliert:

Ist $V^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$ , so muss schon ${E_i}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$ für eine der Teilmengen $E_i$ sein.

Beweis

Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Es sei o. B. d. A.

$I=\{1,2,\dots ,n\}$ vorausgesetzt.

Induktionsanfang

$|I|=n=1$

Hier ist nichts zu zeigen.

Induktionsschritt

Sei $|I|=n>1$ und sei die Aussage schon bewiesen für alle $(n-1)$-elementigen Indexmengen.

Zwischenschritt $|I|=n=2$

Hier gilt also

$V=E_1\cup E_2$

und dabei

$U:={(E_1\cup E_2)}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$.

Nehmen wir an, es sei

${E_1}^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$.

Dann gilt für die in $X$ offene (!) Menge $U\setminus E_2$, dass

$U\setminus E_2\subseteq E_1$

und dann sogar

$U\setminus E_2\subseteq {E_1}^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$

sein muss.

Folglich ist dann auch

$U\setminus E_2=\mathrm{\varnothing }$

und damit

$\mathrm{\varnothing }\ne U\subseteq E_2$.

Daher muss auch

${E_2}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$

gelten.

Eigentlicher Induktionsschritt

Es ist also nun

$V=(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_{n-1})\cup E_n$.

Dann ist entweder

${E_n}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$

und es ist nichts weiter zu zeigen.

Oder es gilt nach dem Zwischenschritt und aufgrund der Tatsache, dass die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen $X$-Teilmengen immer abgschlossen ist,

$(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_{n-1}{)}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$.

Doch nun kommt die Induktionsvoraussetzung zum Tragen, wonach für einen Index $k\in \{1,2,\dots ,n-1\}$ schon

${E_k}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }$

sein muss.

Also ist alles gezeigt.

Folgerungen aus dem Analogon

• (F1) Unter den obigen Voraussetzungen gilt stets

${\left(\bigcup _{i\in I}{E}_i\right)}^{\circ }={\left(\bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j\in I}{{E_j}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }}}{E}_i\right)}^{\circ }$

• (F2) Die zuvor genannte Folgerung (F1) hat auch dann noch Bestand, wenn - bei sonst gleichen Voraussetzungen - die Indexmenge als nicht notwendig endlich, die Familie $(E_i{)}_{i\in I}$ jedoch als lokalendliche Familie vorausgesetzt wird. Für eine solche lokalendliche Familie abgeschlossener $X$-Teilmengen gilt das Analogon zum baireschen Satz also in gleicher Weise.

Beweis der Folgerung (F1)

Setzt man

$V:=\bigcup _{i\in I}{E}_i$

und

$W:=\bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j\in I}{{E_j}^{\circ }\ne \mathrm{\varnothing }}}{E}_i$

und

$T:=\bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j\in I}{{E_j}^{\circ }=\mathrm{\varnothing }}}{E}_i$ ,

so gilt offenbar

$V=W\cup T$ .

Wegen

$V^{\circ }\subseteq V$

folgt dann unmittelbar

$V^{\circ }\setminus W\subseteq T$ .

Andererseits ist gemäß dem Analogon

$T^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$.

Da zudem $W$ abgeschlossen in $X$ ist, muss $V^{\circ }\setminus W$ offen in $X$ sein und so ergibt sich zusammengenommen

$V^{\circ }\setminus W\subseteq T^{\circ }=\mathrm{\varnothing }$ .

Folglich hat man

$V^{\circ }\setminus W=\mathrm{\varnothing }$.

und damit auch

$V^{\circ }\subseteq W$

und aus Gründen der Idempotenz sogleich

$V^{\circ }=V^{\circ \circ }\subseteq W^{\circ }$.

Da $W$ Teilmenge von $V$ und das Bilden des Inneren eine monotone Operation ist , gilt die umgekehrte Inklusion ohnehin.

Folglich hat man

$V^{\circ }=W^{\circ }$.

Dies war zu zeigen.

Beweis der Folgerung (F2)

Der Beweis der Folgerung (F2) geht im Wesentlichen genauso wie der Beweis der Folgerung (F1) , wenn man noch beachtet, dass ganz allgemein folgendes gilt:

• Ist in einem topologischen Raum $X$ zu einer Indexmenge $I\ne \mathrm{\varnothing }$ eine lokalendliche Familie $(E_i{)}_{i\in I}$ von $X$-Teilmengen $E_i\subseteq X$ gegeben, so ist auch $(\overline{E_i}{)}_{i\in I}$ eine lokalendliche Familie und dabei gilt

$\overline{\left(\bigcup _{i\in I}{E}_i\right)}=\bigcup _{i\in I}\overline{E_i}$ .

Hintergrundliteratur

• Vorlage:Literatur MR0423277