Beweisarchiv: Moore-Penrose Pseudoinverse

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse ist eine Matrix $(A^{+})$ zu einer beliebigen Matrix $A$, die folgende Eigenschaften erfüllt:

• $A{A}^{+}A=A$
• $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$
• $(A{A}^{+}{)}^{*}=A{A}^{+}$
• $(A^{+}A{)}^{*}=A^{+}A$

Es gilt $(A^{+}{)}^{+}=A$

Voraussetzung

Sei $(A^{+})$ die Moore-Penrose-Pseudoinverse zu einer beliebigen Matrix $A$.

Behauptung

Es gilt: $(A^{+}{)}^{+}{=}^{?}A$ (Die Moore-Penrose-Pseudoinverse der Moore-Penrose-Pseudoinversen ist wieder die Originalmatrix)

Beweis

• a) Sei $A:=BC$
• b) ?$A^{+}=C^T(C{C}^T{)}^{-1}(B^{T}B{)}^{-1}{B}^T$
• c) sei $A^{+}=SP$
• Jetzt kann man S und P in die obige Formel einsetzen und erhält:
• d) $(A^{+})+=P^T(P{P}^T{)}^{-1}(S^{T}S{)}^{-1}{S}^T$
• aus c) und b) ergibt sich
  • e) $S=C^T(C{C}^T{)}^{-1}$
  • f) $P=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^T$
• e) und f) in d) einsetzen ergibt:
• $(A^{+}{)}^{+}=((B^{T}B{)}^{-1}{B}^T{)}^T(((B^{T}B{)}^{-1}{B}^T)((B^{T}B{)}^{-1}{B}^T{)}^T{)}^{-1}((C^T(C{C}^T{)}^{-1}{)}^T(C^T(C{C}^T{)}^{-1}){)}^{-1}(C^T(C{C}^T{)}^{-1}{)}^T$
• Bemerkung: $C{C}^T$ ist eine symmetrische Matrix.
  • D.h. $((C{C}^T{)}^{-1}{)}^T=((C{C}^T{)}^T{)}^{-1}=(C{C}^T{)}^{-1}$. Daraus ergibt sich*
• $(A^{+}{)}^{+}=B(B^{T}B{)}^{-1}((B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}B(B^{T}B{)}^{-1}{)}^{-1}((C{C}^T{)}^{-1}C{C}^T(C{C}^T{)}^{-1}{)}^{-1}(C{C}^T{)}^{-1}C$
  • $=B(B^{T}B{)}^{-1}((B^{T}B{)}^{-1}{)}^{-1}((C{C}^T{)}^{-1}{)}^{-1}(C{C}^T{)}^{-1}C$
  • $=B(B^{T}B{)}^{-1}(B^{T}B)((C{C}^T{)}^{)}(C{C}^T{)}^{-1}C$
  • $=BC$
  • $=A$