Beweisarchiv: Mengenlehre: Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Beweisarchiv: Mengenlehre: TOPNAV Seien $f:A\to B$, $g:B\to C$ und $h:C\to D$ drei Funktionen. Dann gilt

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Beweis

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereiches auf dasselbe Element abbilden. Hier gilt

$\mathrm{Dom}((h\circ g)\circ f)=A=\mathrm{Dom}(g\circ f)=\mathrm{Dom}(h\circ (g\circ f))$.

Außerdem gilt für jedes $x\in A$

$(h\circ g)\circ f(x)=h\circ g(f(x))=h(g(f(x)))=h\circ (g\circ f(x))=h\circ (g\circ f)(x)$.