Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen

Im folgenden wird folgende Definition verwendet:

Eine Menge $x$ heißt Ordinalzahl, wenn $x$ transitiv und durch $\in$ wohlgeordnet ist, d. h.

• aus $a\in x$ folgt stets $a\subseteq x$,
• für je zwei Elemente $a,b\in x$ gilt genau eine der Aussagen $a\in b$ oder $a=b$ oder $a\ni b$,
• jede nichtleere Teilmenge $A\subseteq x$ enthält ein $\in$-minimales Element $m:=\min A$, d. h. dieses erfüllt $m\in a$ für alle $a\in A\setminus \{m\}$.

Die Klasse aller Ordinalzahlen wird mit $\mathrm{O}\mathrm{n}$ bezeichnet.

Soweit nicht anders angegeben, werden die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Fundierungsaxiom und ohne Unendlichkeitsaxiom verwendet.