Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtskürzbarkeit

Surjektivität und Rechtskürzbarkeit

$f : A \to B$ sei eine Abbildung.

$f$ ist surjektiv $⟺$ $f$ ist rechtskürzbar.

(Dabei heißt $f$ rechtskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g, h : B \to C$ aus $g \circ f = h \circ f$ schon $g = h$ folgt.)

$\Rightarrow$ : $f$ werde als surjektiv vorausgesetzt und $g, h : B \to C$ seien beliebige Abbildungen mit $g \circ f = h \circ f$ . Wir müssen $g = h$ zeigen.
Dazu sei $b \in B$ beliebig. Da $f$ surjektiv ist, gibt es (mindestens) ein Element $a \in A$ mit $f (a) = b$ . Wegen $g \circ f = h \circ f$ gilt $g (f (a)) = h (f (a))$ , also $g (b) = h (b)$ . Damit ist $g = h$ bewiesen.
$\Leftarrow$ : $f$ werde als rechtskürzbar vorausgesetzt. Nun sei ein beliebiges Element $b \in B$ gegeben. Wir nehmen an, dass $b$ nicht in der Bildmenge von $f$ liegt und werden diese Annahme zum Widerspruch führen
Dazu werden zwei Abbildungen $g, h : B \to {0, 1}$ folgendermaßen definiert:
$g (x) := 1$ ,
$h (x) := 1$ für $x \neq b$ und $h (b) := 0$ .
Da $b$ ja nicht im Bild von $f$ liegt, gilt $g \circ f = h \circ f$ . Aus der Rechtskürzbarkeit von $f$ folgt $g = h$ , was aber nicht stimmt. Also war die Annahme, dass $b$ nicht im Bild von $f$ liegt falsch, und $f$ ist als surjektiv nachgewiesen.