Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtsinverse

Surjektivität und rechtsinverse Abbildung

$f : A \to B$ sei eine Abbildung.

$f$ ist surjektiv $⟺$ $f$ hat eine Rechtsinverse $g$ .

(Dabei heißt $g : B \to A$ eine Rechtsinverse zu $f$ , wenn $f \circ g = {i d}_{B}$ gilt.)

$\Rightarrow$ : $f$ werde als surjektiv vorausgesetzt. Jedes Element $y \in B$ hat also mindestens ein Urbild unter der Abbildung $f$ . $g : B \to A$ sei eine Funktion, die jedem $y \in B$ genau ein Urbild zuweist (eine solche Funktion existiert nach dem Auswahlaxiom). Dann ist $f \circ g = {i d}_{B}$ erfüllt.
$\Leftarrow$ : Es gelte $f \circ g = {i d}_{B}$ . Nun sei $b \in B$ gegeben. Wir müssen ein $a \in A$ mit $f (a) = b$ angeben.
Die Festlegung $a : = g (b)$ leistet das Verlangte, denn $f (a) = f (g (b)) = {i d}_{B} (b) = b$ .