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Injektivität und Linkskürzbarkeit

Voraussetzung

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f$ ist injektiv $⟺$ $f$ ist linkskürzbar.

(Dabei heißt $f$ linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g,h:C\to A$ aus $f\circ g=f\circ h$ schon $g=h$ folgt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f$ werde als injektiv vorausgesetzt und $g,h:C\to A$ seien beliebige Abbildungen mit $f\circ g=f\circ h$. Wir müssen $g=h$ zeigen.
  Dazu sei $c\in C$ beliebig. Wegen $f\circ g=f\circ h$ gilt $f(g(c))=f(h(c))$. Die Injektivität von $f$ liefert $g(c)=h(c)$. Damit ist $g=h$ gezeigt.
• $\Leftarrow$ : $f$ werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente $x,y\in A$ mit $f(x)=f(y)$ gegeben. Wir müssen $x=y$ zeigen.
  Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen $g,h:A\to A$, nämlich $g:a\mapsto x$ und $h:a\mapsto y$. Wegen $f(x)=f(y)$ gilt für die Kompositionen $f\circ g=f\circ h$. Die Linkskürzbarkeit von $f$ liefert $g=h$, was gleichbedeutend mit $x=y$ ist.

Wikipedia-Verweise

Injektivität - Komposition

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