Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Theorie: Liouville'sche Formel

Satz

Sei $J\subset ℝ$ ein Intervall, $A:J\to {ℝ}^{n\times n}$ stetig und $\mathrm{\Phi }$ eine Matrixlösung von

$y^{\prime }(x)=A(x)y(x),$

d. h., $\mathrm{\Phi }:J\to {ℝ}^{n\times n}$ ist differenzierbar mit ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=A(x)\mathrm{\Phi }(x)$. Dann gilt für alle $x,x_0\in J$ die liouvillesche Formel

$\det \mathrm{\Phi }(x)=\det \mathrm{\Phi }(x_0)\cdot \exp (\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(\xi ))\mathrm{d}\xi ).$

Beweis

Seien $x\in J$ und $h\in ℝ\setminus \{0\}$ mit $x+h\in J$. Für

$r(h):=\mathrm{\Phi }(x+h)-\mathrm{\Phi }(x)-h{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)$

gilt $\frac{r(h)}{h}\to 0$ für $h\to 0$. Mit ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x)=A(x)\mathrm{\Phi }(x)$ gilt daher

$\det (\mathrm{\Phi }(x+h))=\det [(I+hA(x))\cdot \mathrm{\Phi }(x)+r(h)].$

Als erstes zeigt man, dass die Störung $r(h)$ unerheblich ist. Sei dazu $S_n$ die symmetrische Gruppe der Ordnung $n$. Setze

$B(h):=(I+hA(x))\cdot \mathrm{\Phi }(x).$

Nach der Leibniz-Formel für die Determinante gilt

$\begin{array}{cc}\det (B(h)+r(h))& =\sum _{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n[B(h)+r(h){]}_{i,\sigma (i)}\\ \\ & =\sum _{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma )(\prod _{i=1}^n[B(h){]}_{i,\sigma (i)}+R(h,\sigma ))\\ \\ & =\det (B(h))+\sum _{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma )R(h,\sigma )\\ \end{array}$

mit

$R(h,\sigma ):=\prod _{i=1}^n[B(h)+r(h){]}_{i,\sigma (i)}-\prod _{i=1}^n[B(h){]}_{i,\sigma (i)}.$

Aus $\frac{r(h)}{h}\to 0$ für $h\to 0$ folgt $\frac{R(h,\sigma )}{h}\to 0$ für jedes $\sigma \in S_n$. Also ist

$\det ((I+hA(x))\mathrm{\Phi }(x)+r(h))=\det (I+hA(x))\det (\mathrm{\Phi }(x))+o(h).$

Seien ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ die Eigenwerte von $A(x)$ (für festes $x$). Da die Determinante einer Matrix das Produkt ihrer Eigenwerte und die Spur einer Matrix die Summe ihrer Eigenwerte ist, folgt

$\det (I+hA(x))=\prod _{j=1}^n(1+h{\lambda }_j)=1+h\sum _{j=1}^n{\lambda }_j+o(h)=1+h\cdot \text{Spur}(A(x))+o(h).$

Dies impliziert

$(\det \mathrm{\Phi }{)}^{\prime }(x)=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(x))\cdot \det \mathrm{\Phi }(x)$ für alle $x\in J$.

Für

$F(x):=\exp (-\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(\xi ))\mathrm{d}\xi )\cdot \det \mathrm{\Phi }(x)$

gilt

$F^{\prime }(x)=-\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(x))F(x)+\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(x))F(x)=0,$

also

$\det \mathrm{\Phi }(x)=F(x_0)\exp (\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(\xi ))\mathrm{d}\xi )=\det \mathrm{\Phi }(x_0)\exp (\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A(\xi ))\mathrm{d}\xi )$ für alle $x\in J.$

$◻$

Literatur

• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, 2. Auflage. Texts in Applied Mathematics 34, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9

Wikipedia-Verweis

• Liouville'sche Formel