Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Regelmäßige Vielecke: Fünfeck

Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck (Pentagon)

Winkel im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Im Mittelpunkt $M$

(1)   $\phi =\frac{360^{\circ }}{n}=\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$   Mittelpunktswinkel

Winkelsumme im gleichschenkligen $\mathrm{△}CDM$

(2)   $\phi +2{\alpha }_1=180^{\circ }$

(2a)   ${\alpha }_1=\frac{180^{\circ }-\phi }{2}=\frac{180^{\circ }-72^{\circ }}{2}=54^{\circ }$

(2b)   $\alpha =2{\alpha }_1=2\cdot 54^{\circ }=108^{\circ }$   Innenwinkel im Fünfeck

Winkelsumme im gleichschenkligen $\mathrm{△}BCD$

(2c)   $\alpha +2{\alpha }_2=180^{\circ }$

(2d)   ${\alpha }_2=\frac{180^{\circ }-\alpha }{2}=\frac{180^{\circ }-108^{\circ }}{2}=36^{\circ }$

im Winkel $D$

(3a)   $\alpha =2{\alpha }_2+{\alpha }_3$

(3b) ${\alpha }_3=\alpha -2{\alpha }_2=108^{\circ }-2\cdot 36^{\circ }=36^{\circ }$

im gleichschenkligen $\mathrm{△}ABD$

(4)   ${\alpha }_3+2{\alpha }_4=180^{\circ }$

(4a)   ${\alpha }_4=\frac{180^{\circ }-{\alpha }_3}{2}=\frac{180^{\circ }-36^{\circ }}{2}=72^{\circ }$

Längen und Flächen im regelmäßigen Fünfeck (Pentagon)

Die $\mathrm{△}ABD$ und $\mathrm{△}FEA$ sind ähnlich, weil die Winkel in Punkt $A$ und $D$

${\alpha }_2={\alpha }_3=36^{\circ }$

und die Winkel in Punkt $E$ und $A$

${\alpha }_4={\alpha }_4=72^{\circ }$

gleich sind

(5)   $\overline{BD}:\overline{AB}=\overline{AE}:\overline{EF}$

(6)   $\overline{BD}=d$

(6a)   $\overline{AB}=a$

(6b)   $\overline{AE}=a$

(6c)   $\overline{CF}=a$

(6d)   $\overline{EF}=d-a$

Diagonale

(6) bis (6d) in (5) eingesetzt

(7)   $\frac{d}{a}=\frac{a}{d-a}$

(7a)   $d^2-ad=a^2$

(7b)   $d^2-ad-a^2=0$

Lösung der quadratischen Gleichung

(8a)   $d=\frac{a}{2}+\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}\sqrt{5}$

(8b)   $d=\frac{a}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)$   Diagonale

Höhe

Die Höhe des Fünfecks:

(9)   $h=\overline{DU}$

$\mathrm{△}AUD$ ist rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras:

(9a)   $d^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+h^2$

(9b)   $h^2=d^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

(8b) einsetzen:

(9c)   $h^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot \left[{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-1\right]$

(9d)   $h^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot \left(1+2\sqrt{5}+5-1\right)={\left(\frac{a}{2}\right)}^2\cdot \left(5+2\sqrt{5}\right)$

(9e)   $h=\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$  Höhe

Inkreisradius

Es gilt:

(10)   $r_i+r_u=h$

(11)   $r_i+r_u=\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\mathrm{△}AUM$ ist auch rechtwinklig. Daher gilt nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls:

(12)   $r_u^2=r_i^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$

(12a)   $r_u=\sqrt{r_i^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$

(12a) in (11) eingesetzt

(13)   $r_i+\sqrt{r_i^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

(13a)   $\sqrt{r_i^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}-r_i$

quadriert

(13b)   $r_i^2+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}\left(5+2\sqrt{5}\right)-a{r}_i\sqrt{5+2\sqrt{5}}+r_i^2$

(13c)   $a{r}_i\sqrt{5+2\sqrt{5}}=\frac{a^2}{4}\left(5+2\sqrt{5}\right)-\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{4}\left(4+2\sqrt{5}\right)=\frac{a^2}{2}\left(2+\sqrt{5}\right)$

(14)   $r_i=\frac{a^2\left(2+\sqrt{5}\right)}{2a\sqrt{5+2\sqrt{5}}}=\frac{a\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$  Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14a)   $r_i=\frac{a\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\cdot \frac{\sqrt{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}}=\frac{a\left(2\sqrt{5}+5\right)}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\cdot \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$

(14b)   $r_i=\frac{a\left(5+2\sqrt{5}\right)\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{2\cdot 5\left(5+2\sqrt{5}\right)}=\frac{a\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}$  Inkreisradius

in anderer Umformung (14) erweitert

(14c)   $r_i=\frac{a\left(2+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}}\cdot \frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}=\frac{a\sqrt{4+4\sqrt{5}+5}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

(14d)   $r_i=\frac{a\sqrt{\left(9+4\sqrt{5}\right)\left(5-2\sqrt{5}\right)}}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}=\frac{a\sqrt{\left(45-18\sqrt{5}+20\sqrt{5}-8\cdot 5\right)}}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

(14e)   $r_i=\frac{a\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$   Inkreisradius

Umkreisradius

(14b) in (12) eingesetzt

(15a)   $r_u^2=a^2\frac{25+10\sqrt{5}}{100}+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2\frac{25+10\sqrt{5}+25}{100}=a^2\frac{5+\sqrt{5}}{10}$

(15b)   $r_u=a\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}$  Umkreisradius

in anderer Umformung (15b) erweitert

(15c)   $r_u=a\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=a\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}$  Umkreisradius

in anderer Umformung (15a) erweitert

(15d)   $r_u^2=a^2\frac{5+\sqrt{5}}{10}\cdot \frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}=a^2\frac{25-5}{10\left(5-\sqrt{5}\right)}=a^2\frac{2}{5-\sqrt{5}}$

(15e)   $r_u=a\sqrt{\frac{2}{5-\sqrt{5}}}$ Umkreisradius

Fläche

(17)   $A=5\cdot \frac{a\cdot r_i}{2}$

(14d) in (17) eingesetzt

(17a)   $A=5\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}$

(17b)   $A=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt{25+10\sqrt{5}}$   Fläche

oder (14e) in (17) eingesetzt

(17c)   $A=5\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

(17d)   $A=\frac{a^2}{4}\cdot \frac{5}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$  Fläche

Sonstiges

aus (14b) und (15c)

(18)   $\frac{r_i}{r_u}=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}\approx 0,809\dots$

aus (17d) und Umkreisfläche

(19)   $\frac{A}{A_u}=\frac{\frac{a^2}{4}\cdot \frac{5}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}{r_u^2\pi }=\frac{\frac{a^2}{4}\cdot \frac{5}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}{a^2\cdot \frac{2}{5-\sqrt{5}}\pi }=\frac{5\left(5-\sqrt{5}\right)}{8\pi \sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

erweitert

(19a)   $\frac{A}{A_u}=\frac{5}{8\pi }\cdot \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}\cdot \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}=\frac{5}{8\pi }\cdot \frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{25-4\cdot 5}}$

(19b)   $\frac{A}{A_u}=\frac{5}{8\pi }\cdot \frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{5}{8\pi }\cdot \left(\frac{5}{\sqrt{5}}-1\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

(19c)   $\frac{A}{A_u}=\frac{5}{8\pi }\cdot \left(\sqrt{5}-1\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}=\frac{5}{8\pi }\cdot \sqrt{\left(5-2\sqrt{5}+1\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}$

(19d)   $\frac{A}{A_u}=\frac{5}{8\pi }\cdot \sqrt{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(5+2\sqrt{5}\right)}=\frac{5}{8\pi }\cdot \sqrt{30+12\sqrt{2}-10\sqrt{2}-4\cdot 5}$

(19e)   $\frac{A}{A_u}=\frac{5}{8\pi }\cdot \sqrt{10+2\sqrt{2}}\approx 0,\mathrm{757...}$