Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Tangentenviereck

Tangentenviereck

Ein Trapez ist dann ein Tangentenviereck wenn:

1.  $AE+CF=AF+CE$

2.  $BE+BF=DE+DF$

Beweis am rechten Tangentenviereck. Für das linke Tangentenviereck man die spiegelbildlichen Bezeichnungen einzusetzen.

Beweis zu 1.:

(1.1)   $AE=e+f+s$

(1.2)   $CF=v$

(1.3)   $AF=e+h+u$

(1.4)   $CE=t$

$AE+CF=AF+CE$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   $e+f+s+v=e+h+u+t$

(2.2)   $f+s+v=h+u+t$

(3.1)   $f+s=t+g$    und  (3.2)  $h+u=v+g$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   $t+g+v=v+t+g$

also ist   $AE+CF=AF+CE$

Beweis zu 2.:

(1.1)   $BE=s$

(1.2)   $BF=f+g+v$

(1.3)   $DE=h+g+t$

(1.4)   $DF=u$

$BE+BF=DE+DF$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   $s+f+g+v=h+g+t+u$

(2.2)   $s+f+v=h+t+u$

(3.1)   $f+s=t+g$    und  (3.2)  $h+u=v+g$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   $t+g+v=v+g+t$

also ist   $BE+BF=DE+DF$

Wikipedia-Verweis

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